2021.12.13 模拟赛

最近摆得太厉害了。

“讲过的题还不会？”

一开题就发现自己 A 了两道，大为震撼。然后发现是去年我爆零的一场比赛。

T1

先判一手相同。

\(B\) 矩阵出现超过 \(1\) 个 \(\texttt 1\) 的行 / 列是不能操作的。这些行 / 列中为 \(\texttt 1\) 的列 / 行也是不能操作的。

去掉不能操作的行 / 列，新的矩阵可以随意操作。由于 \(B'\) 中任意行 / 列 \(\texttt 1\) 的个数不超过 \(1\) 个，那么只要 \(A'\) 中存在入口 \(\texttt 0\)，一定存在方案可以得到 \(B'\)。

数据水的很，代码写一半交上去就能过。

T2

考虑每个 \(p^k,p\in\mathbf{prime}\) 的贡献，也就是让求

\[\sum_{p\in\mathbf{prime}}\sum_i\left\lfloor\frac{n}{p^i}\right\rfloor \]

根号分治：

• 对于 \(\le \sqrt n\) 的质数，暴力。

• 对于 \(> \sqrt n\) 的质数，其指数至多为 \(1\)，也就是计算

  \[\sum_{\substack{p\in\mathbf{prime}\\p>\sqrt n}}\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor \]

  整除分块，需要求的就是区间质数个数。

质数个数前缀和，考虑筛一类的 DP。设 \(F_i(n)\) 表示对于前 \(i\) 个质数，\(1\dots n\) 为质数或者 \(\mathrm{minp}>p_i\) 的数的个数，转移为

\[F_i(n)=F_{i-1}(n)-(F_{i-1}\left(\left\lfloor\frac{n}{p_i}\right\rfloor\right)-(i-1)). \]

要求 \(p_i\le \sqrt n\)。复杂度就是 min_25 筛第一部分的复杂度，\(\mathcal O\left(\frac{n^{\frac 34}}{\log n}\right)\)。

具体实现还是需要写成非递归形式，对下标根号分治将 \(F\) 的空间降至 \(\mathcal O(\sqrt n)\)。（注意要从大到小枚举那 \(\sqrt n\) 个点值。）

T3

区间 DP，记录 \(f(l,r)\) 表示完全包含于 \([l,r]\) 的所有鱼的答案，枚举聚集点转移。