2021.12.8 模拟赛

只会打暴力咯。

T1

怪题，不会。

完全无法理解别人解不等式和二分答案两种做法的正确性，std 做法没看懂。

T2

套用鞅的停时定理。

现有随机事件 \(\{A_n,n\ge 0\}\)，设势能函数 \(\phi(A_n)=\sum_if(a_i)\)，

\[\phi(A_{n+1})-\phi(A_n)=-1 \]

假设随机选择的两个国家是 \(a_i,a_j\)，

\[p(f(a_i+1)+(a_j-1)f(1))+p(f(a_j+1)+(a_i-1)f(1))+(1-2p)((a_i+a_j)f(1))-(f(a_i)+f(a_j))=-1 \]

令 \(f(1)=0\)，既可以满足 \(\phi(A_\tau)\) 为常数，还可以消去很多项，

\[p\cdot f(a_i+1)+p\cdot f(a_j+1)-f(a_i)-f(a_j)=-1 \]

我们需要让 \(f\) 的变化和选取的 \(a_i,a_j\) 无关，所以有

\[p\cdot f(n+1)-f(n)=-\frac 12 \]

\[f(n+1)=\frac 1 p f(n)-\frac{1}{2p} \]

通过设 \(f(n)+c=k(f(n-1)+c)\) 化为等比数列可以解出 \(f(n)=\frac{1}{2(p-1)}(p^{-(n-1)}-1)\)。

算一下 \(\phi(A_0)-\phi(A_\tau)\) 就好了，需要光速幂。

T3

按 dfs 序限制一下，三位偏序。

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总结一下。

T3 并不难但是我压根没往深处想，需要改进。

感觉今天没啥收获。