hdu---1950---Bridging signals解题报告（求Lis n*logn贪心+二分搜索）

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1950

 

       最长上升子序列（LIS）的典型变形，熟悉的n^2的动归会超时。LIS问题可以优化为nlogn的算法。
　　定义d[k]:长度为k的上升子序列的最末元素，若有多个长度为k的上升子序列，则记录最小的那个最末元素。
       注意d中元素是单调递增的，下面要用到这个性质。
　　首先len = 1,d[1] = a[1],然后对a[i]:若a[i]>d[len]，那么len++，d[len] = a[i];
　　否则，我们要从d[1]到d[len-1]中找到一个j，满足d[j-1]<a[i]<d[j],则根据D的定义，我们需要更新长度为j的上升子序列的最末元素（使之为最小的）即 d[j] = a[i];
　　最终答案就是len
　　利用d的单调性，在查找j的时候可以二分查找，从而时间复杂度为nlogn。

 

　　转载自http://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7474903

　　最长递增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
　　排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了，这两个太容易理解了。

　　假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
　　下面一步一步试着找出它。
　　我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
　　此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

　　首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

　　然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

　　接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

　　再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

　　继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

　　第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

　　第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

　　第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

　　最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

　　于是我们知道了LIS的长度为5。

　　！！!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

　　然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

 

 

　　

//详细模板

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;
const int inf=0x7ffffff;


int low[100000+10],a[100000+10];

int n;

/*
    二分查找。 注意，这个二分查找是求下界的;  (什么是下界？详情见《算法入门经典》 P145)
    即返回 >= 所查找对象的第一个位置（想想为什么）

    也可以用STL的lowe_bound二分查找求的下界
*/

int sear(int *a,int r,int x)
{
    int l=1;int ans;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(a[mid]>=x)
            {
                ans=mid;
                r=mid-1;
            }
        else
            l=mid+1;
    }
    return ans;
}

int main()
{


    while(cin>>n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>a[i];
            low[i]=inf;
        }

        low[1]=a[1];
        int ans=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            if(low[ans]<a[i])
                low[++ans]=a[i];
            else
            {
                low[sear(low,ans,a[i])]=a[i];//   如果用STL： pos=lower_bound(low,low+ans,a[i])-low;   low[pos]=a[i];
            }
        }

        cout<<ans<<endl;
    }

    return 0;
}

 

//AC代码

 

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 40010
using namespace std;
int n,t,len;
int a[maxn],ans[maxn];


int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    cin>>t;
    while(t--)
    {
        len=0;
        ans[1]=-10000;
        cin>>n;
        for(int i=0;i<n;i++)
            cin>>a[i];

        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(ans[len]<a[i])
                ans[++len]=a[i];

            else{
                int pos=lower_bound(ans,ans+len,a[i])-ans;
                ans[pos]=a[i];
            }
        }

        cout<<len<<endl;
    }

    return 0;
}