《编译程序设计原理与技术》笔记之自动机与正规表达式

（转自 https://hushhw.cn/posts/learn/d6cbf625.html）

有限自动机是具有离散输入与输出的系统的一种数学模型，系统可以处于有限个内部状态的任何一个之中，系统的当前状态概括了有关过去输入的信息，这些信息对于确定系统在以后的输入上的行为是必需的。

有限自动机有『确定的』和『非确定的』两种，所谓『确定的有限自动机』是指在当前状态下，输入一个符合，有限自动机转换到唯一的下一个状态，称为后继状态；而『非确定的有限自动机』是指在当前状态下输入一个符号，可能有两种以上可选择的后继状态，并且非确定的有限自动机所对应的状态转换图可以有标记为 $\mathrm{ϵϵ 的边。}$

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正则文法可以用状态转换图非形式的进行表示，这就表明正则文法所对应的语言（正则语言）可以用状态转换图来接受（识别）。有限自动机正是对状态转换图进一步形式化的结果。

1. 状态转换图

状态转换图是一张有限的方向图，其中：

• 结点代表状态用圆圈表示；
• 状态之间用有向边连接；
• 边上的标记表示在射出结点状态下可能出现的输入符号。

一张状态转换图只含有有限个状态（即有限个结点），其中有一个称为初始状态，而可以有若干个（可以为0个）终结状态，终态用双圆圈表示。

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2. 确定的有限自动机（DFA）

定义1.1 一个确定的有限自动机 M （记作：DFA M）是一个五元组：

$$\mathrm{M=(\sum ,Q,q0,F,\delta )M=(\sum ,Q,q0,F,\delta )}$$

• $\sum \sum ：是一个字母表，他的每个元素称为一个输入符号$
• $\mathrm{QQ ：是一个有限的状态集合，每个元素称为一个状态}$
• ${\mathrm{q0\in Qq0\in Q ：q0q0 称为初始状态}}^{}$
• $\mathrm{F\subseteq QF\subseteq Q ： FF 称为终结状态集合}$
• $\mathrm{\delta \delta ：是转换函数，是一个从 Q\times \sum Q\times \sum 到 QQ 的单值映射}$

转换函数 $\mathrm{\delta (q,a)=q,（其中q,q,\in Q，a\in \sum ）\delta (q,a)=q,（其中q,q,\in Q，a\in \sum ） 表示当前状态为 qq，输入符号为 aa 时，自动机将转换到下一个状态 q,q, ，q,q, 称为 qq 的一个后继。}$

若 $\mathrm{Q=\{q1,q2,\cdots ,qn\}，\sum =\{a1,a2,\cdots ,an\}Q=\{q1,q2,\cdots ,qn\}，\sum =\{a1,a2,\cdots ,an\} ，则 Q\times \sum =(\delta (qi,qj)n\times m)Q\times \sum =(\delta (qi,qj)n\times m) 是一个\; n\; 行\; m\; 列的矩阵，它被称为\; DFA\; M\; 的状态转换矩阵，也称为转换表。}$

对 $\sum \sum 上的任何符号串 \omega \in \sum \ast \omega \in \sum \ast ，若存在一条从初态结点到终态结点的路径，该路径上每条边的标记连接成的符号串恰好是 \omega \omega ，则称 \omega \omega 为\; DFA\; M\; 所识别。DFA\; M\; 所能识别的符号串的全体记为 L(M)L(M) ，称为\; DFA\; M\; 所识别的语言。$

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3. 非确定的有限自动机（NFA）

定义1.2 一个非确定的有限自动机 M （记作：NFA M）是一个五元组：

$$\mathrm{M=(\sum ,Q,q0,F,\delta )M=(\sum ,Q,q0,F,\delta )}$$

• $\sum \sum ：是一个字母表，他的每个元素称为一个输入符号$
• $\mathrm{QQ ：是一个有限的状态集合，每个元素称为一个状态}$
• ${\mathrm{q0\in Qq0\in Q ：q0q0 称为初始状态}}^{}$
• $\mathrm{F\subseteq QF\subseteq Q ： FF 称为终结状态集合}$
• $\mathrm{\delta \delta ：是一个从 Q\times \sum Q\times \sum 到 QQ 的子集的映射，即 \delta \times Q\to 2Q\delta \times Q\to 2Q ，其中 2Q2Q 是\; Q\; 的幂集，也就是\; Q\; 的所有子集组成的集合。}$

对 $\sum \sum 上的任何符号串 \omega \in \sum \ast \omega \in \sum \ast ，若存在一条从初态结点到终态结点的路径，该路径上每条边的标记连接成的符号串恰好是 \omega \omega ，则称 \omega \omega 为\; NFA\; M\; 所识别。NFA\; M\; 所能识别的符号串的全体记为 L(M)L(M) ，称为\; NFA\; M\; 所识别的语言。$

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4. 具有 $\mathrm{ϵϵ -\; 转移的非确定的有限自动机}$

如果状态转换图中有标记为 $\mathrm{ϵϵ 的边，则无法用前面的定义描述因而需要扩充\; NFA\; 的概念。}$

定义1.3 一个具有 $\mathrm{ϵϵ -\; 转移的非确定的有限自动机 M （记作：NFA\; M）是一个五元组：}$

$$\mathrm{M=(\sum ,Q,q0,F,\delta )M=(\sum ,Q,q0,F,\delta )}$$

• $\sum \sum ：是一个字母表，他的每个元素称为一个输入符号$
• $\mathrm{QQ ：是一个有限的状态集合，每个元素称为一个状态}$
• ${\mathrm{q0\in Qq0\in Q ：q0q0 称为初始状态}}^{}$
• $\mathrm{F\subseteq QF\subseteq Q ： FF 称为终结状态集合}$
• $\mathrm{\delta \delta ：是一个从 Q\times (\sum \cup \{ϵ\})Q\times (\sum \cup \{ϵ\}) 到 QQ 的子集的映射，即 \delta :Q(\sum \cup \{ϵ\})\to 2Q\delta :Q(\sum \cup \{ϵ\})\to 2Q ，其中 2Q2Q 是\; Q\; 的幂集，也就是\; Q\; 的所有子集组成的集合。}$

对 $\sum \sum 上的任何符号串 \omega \in \sum \ast \omega \in \sum \ast ，若存在一条从初态结点到终态结点的路径，该路径上每条边的标记连接成的符号串恰好是 \omega \omega ，则称 \omega \omega 为\; NFA\; M\; 所识别。NFA\; M\; 所能识别的符号串的全体记为 L(M)L(M) ，称为\; NFA\; M\; 所识别的语言。$

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5. 非确定的有限自动机的确定化

定理 1.1 对任意一个 NFA M，都存在一个与之等价的 DFA D，即 L(M) = L(D)。

定理 1.2 对任何一个具有 $\mathrm{ϵϵ -\; 转移的\; NFA\; M，都存在一个等价的不具有 ϵ-ϵ- 转移的\; NFA\; N。}$

推论 1 对任何一个具有 $\mathrm{ϵϵ -\; 转移的\; NFA\; M，都存在一个与之等价的\; DFA\; D。}$

下面研究『非确定的有限自动机的确定化』，由 NFA 构造等价的 DFA 。

因为 DFA D 的每一个状态对应于 NFA M 的一个状态子集，所以构造状态转换表 DTT 时，对给定的输入符号串，使 D 『并行地』模拟 M 所能产生的所有可能的转换，令 q 为 NFA M 的状态，T 为 NFA M 的状态子集，引入以下操作：

• ε-闭包：
  • ϵ_closure(q) 表示从 q 出发，经过 $\mathrm{ϵϵ -\; 道路可以到达状态 q,q, 。}$
  • ϵ_closure(T) = $\stackrel{}{}$
• 求 T 的 a 弧转换：
  • $\mathrm{move(T,a)move(T,a) 表示从某个状态 qi\in Tqi\in T 出发，经过输入符号\; a\; 之后可到达的状态的集合。}$

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例如下图这个 NFA N：

它是一个具有 $\mathrm{ϵϵ -\; 转移的非确定的有限自动机\; N\; ，是一个五元组：N=(\sum ,Q,q0,F,\delta )N=(\sum ,Q,q0,F,\delta ) ，即为(弧集合，状态集合，初始状态，终结状态集合，转换函数)，所以由图可知：NFA\; N\; =\; (\{a,b\},\; \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},\; \{0\},\; \{10\},\; \delta )。}$

假定 DFA D 的初态为 A，则 A = ϵ_closure(0) = { 0, 1, 2, 4, 7}。

从初态 A 出发，构造 DFA D 的其余状态如下：

DTT[A, a] = ϵ_closure(move(A, a)) = ϵ_closure({3, 8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} = B

DTT[A, b] = ϵ_closure(move(A, b)) = ϵ_closure(5) = {1, 2, 4, 5, 6, 7} = C

DTT[B, a] = ϵ_closure(move(B, a)) = ϵ_closure({3, 8}) = B

DTT[B, b] = ϵ_closure(move(B, b)) = ϵ_closure({5, 9}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9} = D

DTT[C, a] = ϵ_closure(move(C, a)) = ϵ_closure({3, 8}) = B

DTT[C, b] = ϵ_closure(move(C, b)) = ϵ_closure(5) = C

DTT[D, a] = ϵ_closure(move(D, a)) = ϵ_closure({3, 8}) = B

DTT[D, b] = ϵ_closure(move(D, b)) = ϵ_closure({5, 10} = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10} = E

DTT[E, a] = ϵ_closure(move(D, a)) = ϵ_closure({3, 8}) = B

DTT[E, b] = ϵ_closure(move(E, b)) = ϵ_closure(5) = C

至此，不再有新的状态出现，构造过程结束。

共构造了 5 个状态，即 A、B、C、D、E，其中 A 为初态，E 为终态，因为 E 的状态集合中包括原 NFA N 的终态 10。

可以借助表格来观察整个求解过程，每次求解后如果产生新集合，就会记录下来继续算，直到没有新集合为止。

	ε_closure(move(T,a))	ε_closure(move(T,b))
A	B	C
B	B	D
C	B	C
D	B	E
E	B	C

最终状态转换图如下：

此 DFA D 识别的语言同样为 $\mathrm{L(D)=\{(a|b)\ast abb\}L(D)=\{(a|b)\ast abb\} ，由此可知构造出来的\; DFA\; D\; 与\; NFA\; N\; 是等价的。}$

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6. DFA 的化简

无关状态：

• 多余状态：从初态出发到达不了的状态。
• 死状态：从该状态无法到达终态

去掉这些无关状态之后得到的等价的状态转换图，它们的 $\mathrm{L(Si)=L(Sj)L(Si)=L(Sj)，称它们为等价状态，否则称它们为可区分状态。}$

DFA的化简步骤举一个『栗子』来学习一下：

我们把前面确定化的 DFA N 在进行一次化简：

第一步：把 DFA N 的状态集合划分为子集，使每个子集中的状态相互等价，不同子集中的状态相互等价，不同子集中的状态可区分。

• 首先，把 DFA N 的状态集合划分为两个子集：终态子集 {4} 和非终态子集 {0, 1, 2, 3}。由于终态子集只含有一个状态 4，固不可再分。

• 然后考察非终态子集 {0, 1, 2, 3}。

  • 对于输入符号 a，状态 0 ~ 3 都转换到状态 1，所以对于输入符号 a 而言，该子集不能再划分。
  • 对于输入符号 b，状态 0，1，2都转换到子集 {0, 1, 2, 3} 中的一个状态，而状态 3 则转换到状态子集 {4} 中的状态。所以应该把子集 {0, 1, 2, 3} 划分为两个新的子集 {0, 1, 2} 和 {3}。

  这时，DFA N 的状态集合被划分为三个子集，即 {0, 1, 2} 、{3}、{4}。

• 其次，考察子集 {0, 1, 2}。

  • 对于输入符号 a，状态 0 ~ 2 都转换到状态 1，所以对于输入符号 a 而言，该子集不能再划分。
  • 对于输入符号 b，状态 0，2 都转换状态 2，而状态 1 则转换到状态 3。由于 1 和 3 分属于不同的状态子集，所以应该把子集 {0, 1, 2} 划分为两个新的子集 {0, 2} 和 {1}。

  这时，DFA N 的状态集合被划分为四个子集，即 {0, 2} 、{1}、{3}、{4}。

• 最后，考察子集 {0, 2}。

  • 对于输入符号 a，状态 0 和 2 都转换到状态 1，所以对于输入符号 a 而言，该子集不能再划分。
  • 对于输入符号 b，状态 0 和 2 都转换到状态 2，所以对于输入符号 b 而言，该子集不能再划分。

  于是，DFA N 的状态集合最终被划分为四个子集，即 {0, 2} 、{1}、{3}、{4}。

第二步：为每个子集选择一个代表状态。选择 0 为子集 {0, 2} 的代表状态，由于其余子集都只有一个状态，故状态 1，2，3 为它们的代表状态。

至此，画出 DFA N’ 状态转换表和状态转换图。

状态	a	b
0(初态)	1	0
1	1	2
2	1	3
3（终态）	1	0

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7. 正规表达式

用正规表达式可以精确的定义集合，定义 Pascal 语言标识符的正规表达式：$\mathrm{letter(letter|digit)\ast letter(letter|digit)\ast }$

对于字符表 $\sum \sum 上对正规表达式有如下定义：$

• $\mathrm{ϵϵ 是正规表达式，它表示的语言是 \{ϵ\}\{ϵ\}}$
• 如果 $\mathrm{a\in \sum a\in \sum ，则\; a\; 是正规表达式，它表示的语言是\; \{a\}}$
• 如果 r 和 s 都是正规表达式，它标识的语言是 L(r) 和 L(s)，则：
  • $(r)|(s)(r)|(s) 是正规表达式，表示的语言是 L(r)\cup L(s)L(r)\cup L(s)$
  • $(r)(s)(r)(s) 是正规表达式，表示的语言是 L(r)L(s)L(r)L(s)$
  • $(r)+(r)+ 是正规表达式，表示的语言是 (L(r))+(L(r))+$
  • $(r)(r) 是正规表达式，表示的语言是 L(r)L(r)$

正规表达式表示的语言叫做正规集。

正规表达式的书写约定：

• 一元闭包 * 具有最高优先级，并且遵从左结合
• 连接运算的优先级次之，遵从左结合
• 并运算 | 的优先级最低，遵从左结合

正规表达式遵从的代数定律：

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8. 正规表达式与有限自动机的等价性

对任何一个正规表达式 r，都存在一个 FA M，使 L(r) = L(M)，反之亦然。

8.1. 正则表达式转 NFA

转换规则如图，对正规表达式 r 进行分裂、加入新的结点，知道每条边的标记都为基本符号为止。

举个『栗子』：有正规表达式 $(a|b)\ast abb(a|b)\ast abb ，为之构造等价的\; NFA。$

首先为该正则表达式构造拓广转换图，然后根据该正则表达式的构成依据上图的转换规则，对表达式进行分裂，知道每条边的标记都是 $\sum \sum 上的符号或 ϵϵ 为止，即得到与该正规表达式等价的\; NFA。$

8.2. NFA 转正则表达式

转换规则如图，逐步消去 N 中的中间结点，直到只剩下结点 i 和 f 为止。在消去结点的过程中，逐步用较复杂的正规表达式来标记有向边。

举个『栗子』：有如下的 NFA M，试构造与之等价的正规表达式 r。

由于该 NFA M 仅有一个初态和一个终态，故不用增加新的结点，可直接从 NFA M 出发，反复利用替换规则，逐步消去中间结点，直到只剩下初态 0 和终态 7 为止，则从 0 到 7 的有向边的标记即所求正则表达式，过程如图：