20191018+

前言

• 本场考试，感受颇深。
• 比如：语文是多么重要！
• 还有，一些情况下柿子不一定要化简，也可以化成更复杂但更有利于降低复杂度的柿子。

T1

• 树上主席树维护前驱，建出一棵新树，树上倍增即可。
• 时空复杂度$\Theta(NlogN)$。

#include<cstdio>
#define L tr[k].lc
#define R tr[k].rc
using namespace std;
int const N=1e5+5;
int n,q;
int head[N],Next[N<<1],to[N<<1],t;
int w[N];
int Log[N],dep[N],f[N][19],tot;
int dfn[N],id[N];
struct node{
    int lc,rc,maxx;
}tr[N*50];
int root[N],ct;
inline int read(){
    int ss(0);char bb(getchar());
    while(bb<48||bb>57)bb=getchar();
    while(bb>=48&&bb<=57)ss=(ss<<1)+(ss<<3)+(bb^48),bb=getchar();
    return ss;
}
inline int max(int x,int y){
    return x>y?x:y;
}
inline void add(int x,int y){
    to[++t]=y;
    Next[t]=head[x],head[x]=t;
    return ;
}
int ask(int l,int r,int x,int k){
    if(!k)return 0;
    if(l>=x)return tr[k].maxx;
    int mid=l+r>>1;
    return x<=mid?max(ask(l,mid,x,L),ask(mid+1,r,x,R)):ask(mid+1,r,x,R);
}
inline int insert(int l,int r,int x,int y,int p){
    int k=++ct,cnow=k,mid;
    tr[k].maxx=max(y,tr[p].maxx);
    do{
        mid=l+r>>1;
        if(x<=mid)r=mid,R=tr[p].rc,p=tr[p].lc,k=L=++ct;
        else l=mid+1,L=tr[p].lc,p=tr[p].rc,k=R=++ct;
        tr[k].maxx=max(y,tr[p].maxx);
    }while(l^r);
    return cnow;
}
void dfs(int x,int y){
    id[dfn[x]=++tot]=x;
    dep[tot]=dep[f[tot][0]=ask(1,N,w[x]+1,root[y])]+1;
    for(register int i=0,lt=Log[dep[tot]];i<lt;++i)
        f[tot][i+1]=f[f[tot][i]][i];
    root[x]=insert(1,N,w[x],tot,root[y]);
    for(int i=head[x];i;i=Next[i])
        if(to[i]^y)dfs(to[i],x);
    return ;
}
int main(){
    //freopen("2.in","r",stdin);
    //freopen("1.out","w",stdout);
    n=read(),q=read();
    Log[0]=-1;
    for(register int i=1;i<=n;++i)w[i]=read(),Log[i]=Log[i>>1]+1;
    for(register int i=1,ff,tt;i<n;++i)
        ff=read(),tt=read(),add(ff,tt),add(tt,ff);
    dfs(1,0);
    while(q--){
        int x=read(),y=dfn[read()],gl=ask(1,N,read()+1,root[x]);
        if(gl<y){puts("0");continue;}
        int ans=1;
        for(register int i=Log[dep[gl]];~i;--i)
            if(f[gl][i]>=y)ans+=1<<i,gl=f[gl][i];
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

T2

• 都说是语文题，但我读懂了，而且发现了竞赛图不是拓扑图就含有三元环的性质后还是不会……
• 正解是单步容斥。
• 首先总方案是$C_n^3$。
• 对于每个点，该点和任意两条出边所到达的点组不成三元环。
• 其实入边也是，但会重复。
• 设点i的出度为degree[i]，未确定的边数为unlock[i]。
• 一条不确定的边成为出边的概率是$\frac{1}{2}$。
• 则由任意两条确定的出边组成的方案是$C_{degree[i]}^2$。
• 由一条确定的出边和一条不确定的出边组成的方案是$\frac{1}{2}degree[i]*unlock[i]$。
• 由两条不确定的出边组成的方案是$\frac{1}{4}C_{unlock[i]}^2$。
• 都容斥掉即可。
• 时空复杂度$\Theta(N+E)$。

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int const N=1e5+5,M=1e6+5,mod=1e9+7;
int n,e,du[N],w[N];
inline int read(){
    int ss(0);char bb(getchar());
    while(bb<48||bb>57)bb=getchar();
    while(bb>=48&&bb<=57)ss=(ss<<1)+(ss<<3)+(bb^48),bb=getchar();
    return ss;
}
inline ll power(ll x,int y){
    ll as=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
        if(y&1)as=as*x%mod;
    return as;
}
int main(){
    //freopen("1.in","r",stdin);
    //freopen("1.out","w",stdout);
    n=read(),e=read();
    for(register int i=1;i<=n;++i)w[i]=n-1;
    for(register int i=1,ff,tt;i<=e;++i)++du[read()],--w[read()];
    long long ans=1ll*n*(n-1)*(n-2)/2/3;
    long long inv2=power(2,mod-2),inv4=power(4,mod-2);
    for(register int x=1;x<=n;++x){
        ans-=(1ll*du[x]*(du[x]-1)>>1)+(1ll*du[x]*(w[x]-du[x])*inv2)
        +(1ll*(w[x]-du[x])*(w[x]-du[x]-1)>>1)*inv4;
        ans=(ans%mod+mod)%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

T3

• 题意是求$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[i\neq j]\times C_{a_i+b_i+a_j+b_j}^{a_i+a_j}$。
• 则$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[i\neq j]\times C_{a_i+b_i+a_j+b_j}^{a_i+a_j}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[i\neq j]\times\sum\limits_{k=0}^{a_i+a_j}C_{a_i+b_i}^k C_{a_j+b_j}^{a_i+a_j-k}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[i\neq j]\times\sum\limits_{k=-a_i}^{min(b_i,a_j)}C_{a_i+b_i}^{a_i+k}C_{a_j+b_j}^{a_j-k}$。
• 直接开桶维护$C_{a_j+b_j}^{a_j-k}$之和即可。
• 时间复杂度$\Theta(N+\sum\limits_{i=1}^N a_i+\sum\limits_{i=1}^N b_i)$。

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int const N=1e5+5,M=2e7+1,mod=1e9+7;
int n,tot;
int a[N],b[N],mx[N];
ll ans;
int t[M<<1],fac[M],inv[M];
inline int read(){
    int ss(0),pp(1);char bb(getchar());
    for(;bb<48||bb>57;bb=getchar())if(bb=='-')pp=-1;
    while(bb>=48&&bb<=57)ss=(ss<<1)+(ss<<3)+(bb^48),bb=getchar();
    return ss*pp;
}
inline int max(int x,int y){
    return x>y?x:y;
}
inline ll power(ll x,int y){
    ll as=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
        if(y&1)as=as*x%mod;
    return as;
}
inline ll C(int x,int y){//printf("%d %d\n",x,y);
    return x<y?0:1ll*fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
inline int down(int x){
    return x<mod?x:x-mod;
}
int main(){
    //freopen("2.in","r",stdin);
    //freopen("1.out","w",stdout);
    n=read();
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        b[i]=(a[i]=read())+read(),tot+=b[i];
    for(register int i=n;i;--i)mx[i]=max(a[i],mx[i+1]);
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(register int i=2;i<=tot;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[tot]=power(fac[tot],mod-2);
    for(register int i=tot;i;--i)inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mod;
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        for(register int j=-a[i],z=b[i],lt=z-a[i];j<=lt;++j)
            ans=(ans+C(z,j+a[i])*t[j+M])%mod;
        for(register int j=max(-mx[i+1],a[i]-b[i]);j<=a[i];++j)
            t[j+M]=down(t[j+M]+C(b[i],a[i]-j));
    }
    printf("%lld",(ans<<1)%mod);
    return 0;
}