LIS and dilworth

Posted on 2021-09-22 20:44 chen— 阅读(80) 评论(0) 收藏举报

首先，先明白子串和子序列之间的差别：

以字符串 abcdefgh 为例：

1. 字符子串指的是字符串中连续的字符

eg. abc, efg····

2. 字符子序列指的是字符串中先后顺序一致但不一定连续的字符

eg. adg, cdgh····

可以去掉字符串中的部分字符，但不可改变其前后顺序。

最长上升子序列（LIS）

序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8) ，其最长上升子序列长度为4，其中一条LIS(1,3,5,8)

ps.与最长非降序子序列（二者区别就是序列中是否可以有相等的数）同理。

要用集合的观念来理解此类问题：

子序列、公共子序列以及最长公共子序列都不唯一

对于固定的数组，虽然LIS序列不一定唯一，但LIS的长度是唯一的

解决方案：

采用贪心+二分 O(nlogn)

由贪心的思想：对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长。

只需要维护一个low数组，具体情况：

1. 如果读入的数x > low[end]，就将x读入到low的末尾

2. x <= low[end]，就用x来更新low，由于采用这样的做法low中插入的数据都是有序的，一定都是单调递增(单调不减也可以)，就可以采用二分查找的方法lower_bound( )来找到第一个大于等于x的数，并用x来取代low中的数，本质是贪心算法的体现。

3. 可以发现只用步骤（1）可以增加LIS的长度，而步骤（2）的目的在于贪心为接下来的操作做铺垫

4. 注意！low中单序列并不一定是正确的最长上升子序列，该做法只能得到LIS的长度，并不一定能得到正确的LIS序列，因为二分插入数字的，有可能将排序较后的数插在排序比它前的数的前面，这样的序列就不满足有序了

但是这样做的依据是二分查找插入并没有改变LIS的长度，这一步的意义更在于贪心的思想，即代表一种可能性，为之后的更新做了铺垫。

总之low并不一定表示最长上升子序列，它只表示相应最长子序列长度的排好序的最小序列，它可以反映LIS的长度。

借鉴博客

code:

//核心代码1
const int MAXN;
int a[MAXN]
int low[MAXN];
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    memset(low,0x3f,sizeof low);
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin >> a[i];
    low[1] = a[1];
    int num = 1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(a[i] > low[num])
            low[++num] = a[i];
        else
            二分查找
            low[ ] = a[i];
    }
    cout << num;
    return 0;
}

//代码2   STL实现
#include<iostream>
#include<vector> 
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+10;
int a[MAXN];
vector<int> vec;
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin >> a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(vec.empty() || a[i]>vec.back())
            vec.push_back(a[i]);
        else{
            int pos = lower_bound(vec.begin(),vec.end(),a[i])-vec.begin();
            vec[pos] = a[i];
        }
    } 
    cout << vec.size();
    return 0;
}

扩展运用：

狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)

百度百科：亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目，由偏序集P按如下方式产生的图G称为偏序集的可比图：G的节点集由P的元素组成，而e为G中的边，仅当e的两端点在P中是可比较的，有限全序集的可比图为完全图

point 1：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。

point 2：对偶形式亦真，断言：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目

point 3：最小链覆盖（使链最少）= 最长反链长度 = 偏序集宽度
　　　　最小反链覆盖 = 最长链长度 = 偏序集深度

栗子：

1 2 3 2 3

要把 1 2 3 2 3 从序列变为集合(p,v)的形式{（1，2），（2，2），（3，3），（4，2），（5，3）}，第一个是序数第二个是对应的数，并在此基础上定义关系 <=:pi<=pj&&vi<=vj。

最*小*上升子序列划分个数 {1，2，2，3}与{3} —— 两个
等于最*长”反链长度（3，2） ——同样是两个

反之则是
最小反链划分{1} ，{2} ，{3，2}，{3} ——4个
等于最长不降子序列长度 {1，2，2，3} ——同样4个
假如是最长上升子序列就定义关系为 <:pi<pj&&vi<vj即可

例题：

样例结果：

4条轨道的列车：

8 4 2 1

5 3

6 9

其LIS为

2 3 6 7

长度为4

终上所述，采用上面分析的代码就可以AC此题

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