ARC137D Prefix XORs 题解

这里的所有下标从 $\mathbf{0}$ 开始。

我们考察一下每次操作后的数列 $a$ 会是什么样的。这里用 $a_i$ 前面的系数 $x$ 表示 $a_i$ 贡献了 $x$ 次，$+$ 表示异或。

$$\begin{array}{cccccc}k=0& a_0& a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}\\ k=1& a_0& a_0+a_1& a_0+a_1+a_2& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{0})a_0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{0})a_1+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})a_{n-1}\\ k=2& a_0& 2a_0+a_1& 3a_0+2a_1+a_2& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a_0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1})a_1+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})a_{n-1}\\ k=3& a_0& 3a_0+a_1& 6a_0+3a_1+a_2& \cdots & (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})a_0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})a_1+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})a_{n-1}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k=m& a_0& m{a}_0+a_1& \cdots & \cdots & \cdots \end{array}$$

可以发现，操作 $k$ 次后，$a_i$ 对 $a_{n-1}$ 的贡献系数 $x$ 就是：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i+k-2}{k-1})$$

当且仅当 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i+k-2}{k-1})$ 为奇数的时候，$a_i$ 才能对 $a_{n-1}$ 产生贡献。由 Lucas 定理，这个条件等价于 $n-i-1$ 和 $k-1$ 的按位与是 $0$。用 $U$ 表示全集，集合运算表示位运算，那么这个条件又等价于 $k-1\subseteq U\setminus (n-i-1)$。这个玩意就是一个高维后缀和。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
 
const int N = 1e6, LOGN = 20;
 
int n, m, a[N + 10], b[1 << LOGN];
 
int main() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 0; i < n; i++)
    scanf("%d", a + i);
  int all = (1 << LOGN) - 1;
  for (int i = 0; i < n; i++)
    b[all ^ (n - i - 1)] = a[i];
  for (int i = 0; i < LOGN; i++)
    for (int msk = 0; msk < (1 << LOGN); msk++)
      if (!((msk >> i) & 1)) b[msk] ^= b[msk ^ (1 << i)];
  for (int i = 0; i < m; i++)
    printf("%d%c", b[i], " \n"[i == m - 1]);
  return 0;
}