数位 dp 总结

用途：统计 $[1,x]$ 中满足某某性质的数的个数。

（当然，如果题目要求统计 $[l,r]$ 中的数，那么用 $[1,r]$ 的答案减 $[1,l-1]$ 的答案即可）

数据范围：${10}^9$ 起步。

状态：现在是第几位（$x$，并记这一位上的数字为 $nu{m}_x$）、有没有前导零（$zer$）、能枚举的范围是 $[0,9]$ 还是 $[0,nu{m}_x]$（$lim$）、根据题目设出来的状态（例如数字出现的个数，模 $m$ 的余数等等）。

模板：

int dp(int x,bool zer,bool lim,...){
  if(x==0)return ...;
  if(!~f[x][zer][lim][...])return f[x][zer][lim][...]; // 记忆化
  int res=0;
  for(int i=0;i<=(lim?num[x]:9);i++){
    if(zer&&i==0)res+=dp(x-1,1,lim&&i==num[x],...); // 是前导零
    else res+=dp(x-1,0,lim&&i==num[x],...); // 不是前导零
  } // 有时我们不关心是不是前导零，此时这两种情况可以合并
  return f[x][zer][lim][...]=res;
}