BZOJ4870:[SHOI2017]组合数问题(组合数学,矩阵乘法)

Description

Input

第一行有四个整数 n, p, k, r，所有整数含义见问题描述。

1 ≤ n ≤ 10^9, 0 ≤ r < k ≤ 50, 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1

Output

一行一个整数代表答案。

Sample Input

2 10007 2 0

Sample Output

8

Solution

考虑这个式子的组合数意义，发现其实就是从$n*k$个物品里面取$\%k=r$件物品的方案数。

所以$f[i][j]$表示放完前$i$个，余数为$j$的方案数。$f[i][j] = f[i-1][j] + f[i - 1][(j - 1 + k) \% k]$，矩乘优化一下就可以了。

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;

LL n,MOD,k,r;

struct Matrix
{
    LL m[59][59];
    Matrix(){memset(m,0,sizeof(m));}
    Matrix operator * (const Matrix &b) const
    {
        Matrix c;
        for (int i=0; i<50; ++i)
            for (int j=0; j<50; ++j)
                for (int k=0; k<50; ++k)
                    (c.m[i][j]+=m[i][k]*b.m[k][j])%=MOD;
        return c;
    }
}A,ans;

Matrix Qpow(Matrix a,LL b)
{
    Matrix ans;
    for (int i=0; i<50; ++i) ans.m[i][i]=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=ans*a;
        a=a*a; b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&MOD,&k,&r);
    for (int i=0; i<k; ++i)
    {
        A.m[i][i]++;
        A.m[(i-1+k)%k][i]++;
    }
    ans.m[0][0]=1;
    ans=ans*Qpow(A,n*k);
    printf("%lld\n",ans.m[0][r]);
}