BZOJ3997:[TJOI2015]组合数学(DP,Dilworth定理)

Description

 给出一个网格图，其中某些格子有财宝，每次从左上角出发，只能向下或右走。问至少走多少次才能将财宝捡完。此对此问题变形，假设每个格子中有好多财宝，而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝，至少走多少次才能把财宝全部捡完。

Input

 第一行为正整数T，代表数据组数。

每组数据第一行为正整数N，M代表网格图有N行M列，接下来N行每行M个非负整数，表示此格子中财宝数量，0代表没有

Output

 输出一个整数，表示至少要走多少次。

Sample Input

1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0

Sample Output

10

HINT

 N<=1000,M<=1000.每个格子中财宝数不超过10^6

Solution 

由$Dilworth$定理可知，最小链覆盖=最大反链=最大独立集
当时我就懵逼了……啥是反链啊？……
链是一个点的集合，这个集合中任意两个元素$v$、$u$，要么$v$能走到$u$，要么$u$能走到$v$。
反链就是是一个点的集合，这个集合中任意两点谁也不能走到谁。= =
那么左上角为$(1,1)$，右下角为$(n,m)$，设$f[i][j]$表示矩形$(i,j),(1,m)$内的最长反链。
$f[i][j]=max(f[i][j+1],f[i-1][j],f[i-1][j+1]+a[i][j])$

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define N (1009)
using namespace std;

int T,n,m,a[N][N],f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1; i<=n; ++i)
            for (int j=1; j<=m; ++j)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        for (int i=1; i<=n; ++i)
            for (int j=m; j>=1; --j)
                f[i][j]=max(max(f[i][j+1],f[i-1][j]),f[i-1][j+1]+a[i][j]);
        printf("%d\n",f[n][1]);
    }
}