BZOJ1856:[SCOI2010]字符串(卡特兰数,组合数学)

Description

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

Input

输入数据是一行，包括2个数字n和m

Output

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

Sample Input

2 2

Sample Output

2

HINT

【数据范围】
对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

Solution

只要看懂这个博客方法二的证明，就可以发现这个题只不过是那个证明变了一点而已。

只需要做起点的对称点用总路径减去不合法路径即可。
最后答案是C(m+n,n)-C(m+n,n+1)

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N (2000000+1000)
#define MOD (20100403)
using namespace std;
long long n,m,Fact[N],FactInv[N],Inv[N],ans;

long long C(long long n,long long m)
{
    if (m>n) return 0;
    return Fact[n]*FactInv[m]%MOD*FactInv[n-m]%MOD;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    Inv[0]=Inv[1]=Fact[0]=Fact[1]=1;
    for (int i=2; i<=m+n; ++i)
    {
        Fact[i]=Fact[i-1]*i%MOD;
        Inv[i]=(MOD-MOD/i)*Inv[MOD%i]%MOD;
    }
    
    FactInv[0]=1;
    for (int i=1; i<=m+n; ++i)
        FactInv[i]=Inv[i]*FactInv[i-1]%MOD;
    printf("%lld",((C(m+n,n)-C(m+n,n+1))%MOD+MOD)%MOD);
}