BZOJ3233:[AHOI2013]找硬币(DP)

Description

小蛇是金融部部长。最近她决定制造一系列新的货币。假设她要制造的货币的面值为x1,x2,x3… 那么x1必须为1，xb必须为xa的正整数倍（b>a）。例如 1，5，125，250就是一组合法的硬币序列，而1，5，100，125就不是。不知从哪一天开始，可爱的蛇爱上了一种萌物——兔纸！从此，小蛇便走上了遇上兔纸娃娃就买的不归路。某天，小蛇看到了N只可爱的兔纸，假设这N 只兔纸的价钱分别是a1,a2…aN。现在小蛇想知道，在哪一组合法的硬币序列下，买这N只兔纸所需要的硬币数最少。买兔纸时不能找零。

Input

第一行，一个整数N，表示兔纸的个数
第二行，N个用空格隔开的整数，分别为N只兔纸的价钱

Output

一行，一个整数，表示最少付的钱币数。

Sample Input

2
25 102

Sample Output

4

HINT

样例解释：共有两只兔纸，价钱分别为25和102。现在小蛇构造1，25，100这样一组硬币序列，那么付第一只兔纸只需要一个面值为25的硬币，第二只兔纸需要一个面值为100的硬币和两个面值为1的硬币，总共两只兔纸需要付4个硬币。这也是所有方案中最少所需要付的硬币数。
1<=N<=50, 1<=ai<=100,000

Solution

因为选的序列是倍数的原因，所以我们可以得到一个贪心：尽可能选大的。

也就是我们从大到小确定面额，如果当前确定的面额为$x$，那么所有兔子剩下需要付的就是$a[i]\% x$。

设$f[i]$表示当前最小面值为$i$时的最少付钱次数。

初始化$f[i]=\sum_{j=1}^na[j]/i$。

设$p$为$f[i]$的一个质因数

转移$f[i/p]=min(f[i/p],f[i]+\sum_{j=1}^{n} a[j]\% i/(i/p))$

并且你需要一个线筛来快速找出一个数的所有质因数。

为什么这么转移懒得写了，反正就是基于贪心的思想应该并不难理解QAQ

我：为啥这个初始化不上取整啊……难不成钱不够兔子还给你抹个零……
$sugar$：你别说还真的抹个零，因为零头在后面$DP$会付掉的……

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define N (100009)
using namespace std;

int n,cnt,maxn,a[N],prime[N],d[N],f[N];

void Euler()
{
    for (int i=2; i<=maxn; ++i)
    {
        if (!d[i]) {prime[++cnt]=i; d[i]=i;}
        for (int j=1; j<=cnt && i*prime[j]<=maxn; ++j)
        {
            d[i*prime[j]]=prime[j];
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        scanf("%d",&a[i]), maxn=max(maxn,a[i]);
    Euler();
    memset(f,0x7f,sizeof(f));
    for (int i=maxn; i>=1; --i)
    {
        int sum=0;
        for (int j=1; j<=n; ++j)
            sum+=a[j]/i;
        f[i]=min(f[i],sum);
        int x=i;
        while (x>1)
        {
            int p=d[x],sig=0;
            for (int j=1; j<=n; ++j)
                sig+=a[j]%i/(i/p);
            f[i/p]=min(f[i/p],f[i]+sig);
            while (x%p==0) x/=p;
        }
    }
    printf("%d\n",f[1]);
}