BZOJ4766:文艺计算姬(矩阵树定理)

Description

"奋战三星期，造台计算机"。小W响应号召，花了三星期造了台文艺计算姬。文艺计算姬比普通计算机有更多的艺术细胞。

普通计算机能计算一个带标号完全图的生成树个数，而文艺计算姬能计算一个带标号完全二分图的生成树个数。

更具体地，给定一个一边点数为n，另一边点数为m，共有n*m条边的带标号完全二分图K_{n,m}，计算姬能快速算出其生成树个数。

小W不知道计算姬算的对不对，你能帮助他吗？

Input

仅一行三个整数n,m,p，表示给出的完全二分图K_{n,m}

1 <= n,m,p <= 10^18

Output

仅一行一个整数，表示完全二分图K_{n,m}的生成树个数，答案需要模p。

Sample Input

2 3 7

Sample Output

5

Solution

首先先把(度数矩阵-邻接矩阵)搞出来，这里以样例为例。
$
\left\{
\begin{matrix}
3&0&-1&-1&-1\\
0&3&-1&-1&-1\\
-1&-1&2&0&0\\
-1&-1&0&2&0\\
-1&-1&0&0&2\\
\end{matrix}
\right\}
$
按照求矩阵树的方法随便删掉一行一列，这里删掉了最后一行和最后一列。
$
\left\{
\begin{matrix}
3&0&-1&-1\\
0&3&-1&-1\\
-1&-1&2&0\\
-1&-1&0&2\\
\end{matrix}
\right\}
$
把前$n-1$行和后$m-1$行都加到第$n$行
$
\left\{
\begin{matrix}
3&0&-1&-1\\
1&1&0&0\\
-1&-1&2&0\\
-1&-1&0&2\\
\end{matrix}
\right\}
$
用第$n$行的去加到后面$m-1$行上，把$-1$给消掉。
$
\left\{
\begin{matrix}
3&0&-1&-1\\
1&1&0&0\\
0&0&2&0\\
0&0&0&2\\
\end{matrix}
\right\}
$

这样的话这个矩阵的行列式显然就是$m^{n-1}n^{m-1}$了。
记得快速乘。

Code

#include<cstdio>
#define LL long long 
using namespace std;

LL n,m,p;

LL Mul(LL a,LL b)
{
    LL tmp=a*b-(LL)((long double)a*b/p+0.1)*p;
    return tmp<0?tmp+p:tmp;
}

LL Qpow(LL a,LL b)
{
    LL ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=Mul(ans,a);
        a=Mul(a,a); b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
    printf("%lld",Mul(Qpow(n,m-1),Qpow(m,n-1)));
}