BZOJ4894:天赋(矩阵树定理)

Description

小明有许多潜在的天赋，他希望学习这些天赋来变得更强。正如许多游戏中一样，小明也有n种潜在的天赋，但有一些天赋必须是要有前置天赋才能够学习得到的。

也就是说，有一些天赋必须是要在学习了另一个天赋的条件下才能学习的。比如，要想学会"开炮"，必须先学会"开枪"。

一项天赋可能有多个前置天赋，但只需习得其中一个就可以学习这一项天赋。

上帝不想为难小明，于是小明天生就已经习得了1号天赋-----"打架"。于是小明想知道学习完这n种天赋的方案数，答案对1,000,000,007取模。

Input

第一行一个整数n。

接下来是一个n*n的01矩阵，第i行第j列为1表示习得天赋j的一个前置天赋为i。

数据保证第一列和主对角线全为0。

n<=300

Output

第一行一个整数，问题所求的方案数。

Sample Input

8
01111111
00101001
01010111
01001111
01110101
01110011
01111100
01110110

Sample Output

72373

Solution

终于来填矩阵树的坑了……

其实也没啥难的，就是高斯消元解个行列式就完了……（行列式的性质可以看这里）

这个题其实是让你求以$1$为根的外向树生成树个数。

无向图生成树：度数矩阵-邻接矩阵

有向图外向生成树：入度矩阵-邻接矩阵

有向图内向生成树：出度矩阵-邻接矩阵

把这个矩阵删掉一行一列然后求出的行列式的值就是生成树个数。

注意有向图的生成树需要删除根所在的行列来计算行列式。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define N (309)
#define LL long long
#define MOD (1000000007)
using namespace std;

LL n,f[N][N];
char s[N];

LL inv(LL a)
{
    LL ans=1,b=MOD-2;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=ans*a%MOD;
        a=a*a%MOD; b>>=1;
    }
    return ans;
}

void Gauss(LL n)
{
    int w=1,ans=1;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
    {
        int num=i;
        for (int j=i; j<=n; ++j)
            if (abs(f[j][i])>abs(f[num][i])) num=j;
        if (num!=i) swap(f[num],f[i]), w=-w;
        for (int j=i+1; j<=n; ++j)
        {
            int t=f[j][i]*inv(f[i][i])%MOD;
            for (int k=i; k<=n; ++k)
                f[j][k]=(f[j][k]-t*f[i][k])%MOD;
        }
    }
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        ans=ans*f[i][i]%MOD;
    ans=(ans*w%MOD+MOD)%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (int i=0; i<n; ++i)
    {
        scanf("%s",s);
        for (int j=0; j<n; ++j)
            f[i][j]-=s[j]-'0';
    }
    for (int i=0; i<n; ++i)
        for (int j=0; j<n; ++j)
            if (i!=j && f[i][j]==-1) f[j][j]++;
    Gauss(n-1);
}