BZOJ1406:[AHOI2007]密码箱(数论)

Description

在一次偶然的情况下，小可可得到了一个密码箱，听说里面藏着一份古代流传下来的藏宝图，只要能破解密码就能打开箱子，而箱子背面刻着的古代图标，就是对密码的提示。经过艰苦的破译，小可可发现，这些图标表示一个数以及这个数与密码的关系。假设这个数是n，密码为x，那么可以得到如下表述： 密码x大于等于0，且小于n，而x的平方除以n，得到的余数为1。 小可可知道满足上述条件的x可能不止一个，所以一定要把所有满足条件的x计算出来，密码肯定就在其中。计算的过程是很艰苦的，你能否编写一个程序来帮助小可可呢？（题中ｘ，ｎ均为正整数）

Input

输入文件只有一行，且只有一个数字n(1<=n<=2,000,000,000)。

Output

你的程序需要找到所有满足前面所描述条件的x，如果不存在这样的x，你的程序只需输出一行“None”(引号不输出)，否则请按照从小到大的顺序输出这些x，每行一个数。

Sample Input

12

Sample Output

1
5
7
11

Solution

$x^2=k\times n+1$

$(x+1)(x-1)=k \times n$

设$n=a\times b (a<b)$

$a \times b | (x+1)(x-1)$

$a|(x+1),b|(x-1)$或者$a|(x-1),b|(x+1)$。

枚举$n$的一个较大的质因数$b$的倍数，就可以将其看做$x-1$或$x+1$，然后代入到$a|(x+1)$或$a|(x-1)$里面验证一下就好了。记得去重。

$n=1$的时候问题无解（不过好像没有这种数据）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<set>
#define LL long long
using namespace std;

LL n;
set<LL>s;
set<LL>::iterator it;

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    if (n>1) s.insert(1);
    for (LL i=1; i*i<=n; ++i)
    {
        if (n%i) continue;
        LL x=n/i;
        for (LL j=x; j<=n; j+=x)
        {
            if (!((j-2)%i)) s.insert(j-1);
            if (!((j+2)%i)) s.insert(j+1);
        }
    }
    if (s.empty()) {puts("None"); return 0;}
    for (it=s.begin(); it!=s.end(); ++it)
        if (*it<n) printf("%lld\n",*it);
}