【BZOJ4173】数学

4173: 数学

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Description

 

Input

 输入文件的第一行输入两个正整数 。 

Output

 如题

Sample Input

5 6

Sample Output

240

HINT

 

 N,M<=10^15

 

sol：推公式

$m mod k + n mod k \ge k$

$= n- k* \lfloor \frac{n}{k} \rfloor + m - k* \lfloor \frac{m}{k} \rfloor \ge k$

$=\lfloor \frac{(n+m)}{k} \rfloor -  \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - \lfloor \frac{m}{k} \rfloor = 1$

然后上述式子合并一下 然后类似反演的推一下就好了 我真是懒得写了QAQ

中途需要硬拆数列前缀和

UPD:

哇我这篇排名居然这么高 我就再写一点吧

考虑容斥 那么$\sum_{\lfloor \frac{(n+m)}{k} \rfloor -  \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - \lfloor \frac{m}{k} \rfloor = 1} \phi(k)$

$=\sum_{k=1}^{n+m}\phi(k)*\lfloor \frac{(n+m)}{k} \rfloor - \sum_{k=1}^{n}\phi(k) *  \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - \sum_{k=1}^{m}\phi(k)*\lfloor \frac{m}{k} \rfloor$

根据数论知识 我们有$n=\sum_{d|n}\phi(d)$

于是简化式子 $\sum_{i=1}^{n+m}i-\sum_{i=1}^{n}i-\sum_{i=1}^{m}i$

等差数列求和 得到该式为$n*m$（不信自己证明）

至于为啥$n- k* \lfloor \frac{n}{k} \rfloor + m - k* \lfloor \frac{m}{k} \rfloor \ge k=\lfloor \frac{(n+m)}{k} \rfloor -  \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - \lfloor \frac{m}{k} \rfloor = 1$ 消k我还真没搞懂 看到某个大爷说显然只有两种取值 不是很懂……？

然后答案就是$\phi(n)*\phi(m)*n*m$复杂度$O(\sqrt{n}*logn)$

/*To The End Of The Galaxy*/
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<iomanip>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<complex>
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
#define INF 0x7f7f7f7f
#define llINF 0x7fffffffffffll
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
inline int init()
{
    int now=0,ju=1;char c;bool flag=false;
    while(1)
    {
        c=getchar();
        if(c=='-')ju=-1;
        else if(c>='0'&&c<='9')
        {
            now=now*10+c-'0';
            flag=true;
        }
        else if(flag)return now*ju;
    }
}
inline long long llinit()
{
    long long now=0,ju=1;char c;bool flag=false;
    while(1)
    {
        c=getchar();
        if(c=='-')ju=-1;
        else if(c>='0'&&c<='9')
        {
            now=now*10+c-'0';
            flag=true;
        }
        else if(flag)return now*ju;
    }
}
ll ans,mod;
ll getphi(ll x)
{
    ll ret=x,tmp=x;
    for(ll i=2;(ll)i*i<=tmp;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            ret/=i;ret*=(i-1);
            while(x%i==0)
            {
                x/=i;
            }
        }
        if(x==1)break;
    }
    if(x>1)ret/=x,ret*=(x-1);
    return ret%mod;
}
#ifdef unix
    #define LLD "%lld"
#else
    #define LLD "%I64d"
#endif
int main()
{    
    ll n,m;mod=998244353LL;
    n=llinit();m=llinit();
    ans=(((((n%mod)*(m%mod))%mod)*getphi(n)%mod)*getphi(m)%mod)%mod;
    printf(LLD,ans);
    return 0;
}