【BZOJ1406】密码箱

1406: [AHOI2007]密码箱

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 64 MB
Submit: 1406  Solved: 832
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Description

在一次偶然的情况下，小可可得到了一个密码箱，听说里面藏着一份古代流传下来的藏宝图，只要能破解密码就能打开箱子，而箱子背面刻着的古代图标，就是对密码的提示。经过艰苦的破译，小可可发现，这些图标表示一个数以及这个数与密码的关系。假设这个数是n，密码为x，那么可以得到如下表述： 密码x大于等于0，且小于n，而x的平方除以n，得到的余数为1。 小可可知道满足上述条件的x可能不止一个，所以一定要把所有满足条件的x计算出来，密码肯定就在其中。计算的过程是很艰苦的，你能否编写一个程序来帮助小可可呢？（题中ｘ，ｎ均为正整数）

Input

输入文件只有一行，且只有一个数字n(1<=n<=2,000,000,000)。

Output

你的程序需要找到所有满足前面所描述条件的x，如果不存在这样的x，你的程序只需输出一行“None”(引号不输出)，否则请按照从小到大的顺序输出这些x，每行一个数。

Sample Input

12

Sample Output

1
5
7
11

HINT

枚举因子 复杂度很玄学

具体来说 我们将原式整理成$x^{2} \equiv 1 (mod n)$

那么我们发现$x^{2}-1=kn$

那么我们枚举因子$a$ 令$b$=$\frac{n}{a}$

然后我们枚举$x \in \lbrace x-1=kb,x \leq n \rbrace $ 和 $x \in \{ x+1=kb,x \leq n \} $

从而验证$x+1 \equiv 0 (mod \quad a) $ 和 $x-1 \equiv 0 (mod \quad a) $

如果成立并且还不在set内就加入

复杂度$ \mathcal{O} (\sqrt{n} * \sqrt{n} * \log{ \sqrt{n} })$

但是sqrt(n)*sqrt(n)这里有个很小的常数 能让他变快特别多

/*To The End Of The Galaxy*/
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<iomanip>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<complex>
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl
#define INF 0x7f7f7f7f
#define llINF 0x7fffffffffffll
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
inline int init()
{
    int now=0,ju=1;char c;bool flag=false;
    while(1)
    {
        c=getchar();
        if(c=='-')ju=-1;
        else if(c>='0'&&c<='9')
        {
            now=now*10+c-'0';
            flag=true;
        }
        else if(flag)return now*ju;
    }
}
inline long long llinit()
{
    long long now=0,ju=1;char c;bool flag=false;
    while(1)
    {
        c=getchar();
        if(c=='-')ju=-1;
        else if(c>='0'&&c<='9')
        {
            now=now*10+c-'0';
            flag=true;
        }
        else if(flag)return now*ju;
    }
}
set<ll> st;
int main()
{
    ll n,a,b;
    n=llinit();
    for(int i=1;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            a=i;
            b=n/i;
            for(ll x=1;x<=n;x+=b)
            {
                if((x+1)%a==0)
                {
                    st.insert(x);
                }
            }
            for(ll x=b-1;x<=n;x+=b)
            {
                if((x-1)%a==0)
                {
                    st.insert(x);
                }
            }
        }
    }
    set<ll>::iterator it;
    for(it=st.begin();it!=st.end();it++)
    {
        printf("%lld\n",*it);
    }
    return 0;
}