动态系统 MATLAB 例子

例2.4 现在讨论图2.1所示的机械系统。该系统一开始处于静止状态。位移x和y从它们各自的平衡位置开始测量。假设力p(t)是阶跃输入，位移x(t)是输出，试求该系统的传递函数。
然后，假设m = 0.1 kg，b₂ = 0.4 N·s/m，k₁ = 6 N/m，k₂ = 4 N/m，并假设p(t)是幅值为10 N的阶跃力，求出解析解x(t)。

该系统的运动方程为

m ¨ x + k_{1} x + k_{2} (x - y) = p

$m\ddot{x} + k_1x + k_2(x - y) = p$

k_{2} (x - y) = b_{2} ˙ y

$k_2(x - y) = b_2\dot{y}$

在零初始条件的假设下对这两个方程进行拉普拉斯变换，可以得到

(m s^{2} + k_{1} + k_{2}) X (s) = k_{2} Y (s) + P (s)

$(ms^2 + k_1 + k_2)X(s) = k_2Y(s) + P(s)$

k_{2} X (s) = (k_{2} + b_{2} s) Y (s)

$k_2X(s) = (k_2 + b_2s)Y(s)$

从式(2.3)解得Y(s)并将其代入式(2.2)，可得

(m s^{2} + k_{1} + k_{2}) X (s) = \frac{k_{2}^{2}}{k_{2} + b_{2} s} X (s) + P (s)

$(ms^2 + k_1 + k_2)X(s) = \frac{k_2^2}{k_2 + b_2s}X(s) + P(s)$

或者

[(m s^{2} + k_{1} + k_{2}) (k_{2} + b_{2} s) - k_{2}^{2}] X (s) = (k_{2} + b_{2} s) P (s)

$[(ms^2 + k_1 + k_2)(k_2 + b_2s) - k_2^2]X(s) = (k_2 + b_2s)P(s)$

由此可以得到传递函数

\frac{X (s)}{P (s)} = \frac{b_{2} s + k_{2}}{m b_{2} s^{3} + m k_{2} s^{2} + (k_{1} + k_{2}) b_{2} s + k_{1} k_{2}}

$\frac{X(s)}{P(s)} = \frac{b_2s + k_2}{mb_2s^3 + mk_2s^2+(k_1 + k_2)b_2s + k_1k_2}$

将 $m$ ， $k_1$ ， $k_2$ 和 $b_2$ 的给定数值代入式(2.4)，可以得到

\frac{X (s)}{P (s)} = \frac{0.4 s + 4}{0.04 s^{3} + 0.4 s^{2} + 4 s + 24} = \frac{10 s + 100}{s^{3} + 10 s^{2} + 100 s + 600}

$\frac{X(s)}{P(s)} = \frac{0.4s + 4}{0.04s^3 + 0.4s^2 + 4s + 24} = \frac{10s + 100}{s^3 + 10s^2 + 100s + 600}$

由于 $P(s)$ 是幅值为10 N的阶跃力，所以

P (s) = \frac{10}{s}

$P(s) = \frac{10}{s}$

于是，从式(2.5)可得

X (s) = \frac{10 s + 100}{s^{3} + 10 s^{2} + 100 s + 600} \cdot \frac{10}{s}

$X(s) = \frac{10s + 100}{s^3 + 10s^2 + 100s + 600} \cdot \frac{10}{s}$

为了求得解析解，需要将X(s)展开成为部分分式。为此，可以采用如下MATLAB程序来求留数、极点和直接项：

>> num = [100 1000];
>> den = [1 10 100 600 0];
>> [r,p,k] = residue(num, den)

结果：

r =
  -0.6845 + 0.2233i
  -0.6845 - 0.2233i
  -0.2977
  1.6667

p =
  -1.2898 + 8.8991i
  -1.2898 - 8.8991i
  -7.4204
  0

k =
  []

根据该MATLAB输出， $X(s)$ 可以被写成：

X (s) = \frac{- 0.6845 + j 0.2233}{s + 1.2898 - j 8.8991} + \frac{- 0.6845 - j 0.2233}{s + 1.2898 + j 8.8991} + \frac{- 0.2977}{s + 7.4204} + \frac{1.6667}{s}

$X(s) = \frac{-0.6845 + j0.2233}{s + 1.2898 - j8.8991} + \frac{-0.6845 - j0.2233}{s + 1.2898 + j8.8991} + \frac{-0.2977}{s + 7.4204} + \frac{1.6667}{s}$