向量和矩阵的坐标变换7

[Q] 是两个坐标系的旋转矩阵，为正交矩阵。

\[\{e^{\prime}\}=[Q]\{e\} \\ \]

\[[Q]^T=[Q]^{-1} \]

对于在坐标系{e}中存在的向量 u 和v 存在关系

\[\{u\}=[a]\{v\} \]

其在坐标系\(\{e^{\prime}\}\)存在关系

\[\{u’\}=[a']\{v'\} \]

那么

\[\{u'\}=[Q]\{u\} \\ \{u\}=[Q]^T\{u'\}\\ \{v'\}=[Q]\{v\} \\ \{v\}=[Q]^T\{v'\} \]

代入得

\[\{u'\}= [Q]\{u\}\\ \qquad =[Q][a]\{v\} \\ \qquad =[Q][a][Q]^T\{v'\} \]

和（3）比较

\[[a']=[Q][a][Q]^T \]

同理可得

\[[a]=[Q]^T[a][Q] \]