推导有限元格式的几种方法6
1、伽辽金法
没有分布载荷
ddˆx(AEdˆudˆx)
伽辽金法:
∫L0ddˆx(AEdˆudˆx)Nidˆx
分布积分
(NiAEdˆudˆx)|L0−∫L0AEdˆudˆ(x)dNidˆxdˆx
分布积分中引入了边界条件。
由于 ˆu=[N]ˆd , 因此
dˆudˆx=[−1L1L]{d1xˆd2x}
将上述公式代入分布积分后的公式
AE∫L0dNidˆ(x)[−1L1L]dˆx{d1xˆd2x}=(NiAEdˆudˆx)|L0
上述方程是两个方程,一个Ni=N1 ,一个Ni=N2
利用Ni=N1 得出
AE∫L0dN1dˆ(x)[−1L1L]dˆx{d1xˆd2x}=(N1AEdˆudˆx)|L0
替换dNi/dˆ(x), 得出
AE∫L0[−1L][−1L1L]dˆx{d1xˆd2x}=ˆf1x
式中ˆf1x=AE(dˆu/dˆx), 因为 x=0 时,N1=1, x=L 时,N1=0
AEL∫L0[1L][−1L1L]{ˆd1xˆd2x}=(N2AEdˆudˆx)|L0
简化方程
AEL(ˆd2x−ˆd1x)=ˆf2x
参考文献 :
1、有限元法基础教程 p102
2、直接刚度法
节点力与节点位移的关系,此关系是刚度矩阵
{f1xˆf2x}[k21k22k21k22]
位移函数
ˆu=a1+a2ˆx
矩阵形式
ˆu=[1ˆx]{a1a2}
位移用节点位移表示
ˆu(0)=ˆd1x=a1ˆu(L)=ˆd2x=a2L+ˆd1x
弹簧示意图
a1=ˆd2x−ˆd1xL
ˆu=(ˆd2x−ˆd1xL)+ˆd1x
写成矩阵形式
ˆu=[1−ˆxLˆxL]{ˆd1xˆd2x}
或者
ˆu=[N1N2]{ˆd1xˆd2x}
其中
N1=1−ˆ(x)LN2=ˆ(x)L
其中N1 叫形函数
弹簧变形
δ=ˆd2x−d1x
应变应力关系用力位移关系代替
T=kδ
代入
T=k(ˆd2x−d1x)
力的平衡
ˆf1x=−Tˆf2x=T
联合得出
T=−ˆf1x=k(ˆd2x−ˆd1x)T=ˆf2x=k(ˆd2x−ˆd1x)
重写方程
ˆf1x=k(ˆd1x−ˆd2x)ˆf2x=k(ˆd2x−ˆd1x)
矩阵形式
ˆk_=[k−k−kk]
线性弹簧的刚度矩阵
K_=[K]=N∑e=1k_eF_=[F]=N∑e=1f_e
参考文献:
1、有限元方法基础教程 p20
3、势能法
总势能
πp=12k(ˆd2x−ˆd1x)2−ˆf1xˆd1x−ˆf2xˆd2x
式中$ \hat{d}{2x}-\hat{d} $ 是弹簧的变形
方程的第一项是弹簧的应变能,简化方程
πp=12k(ˆd22x−2ˆd2xˆd1x+ˆd21x)−ˆf1xˆd1x−ˆf2xˆd2x
πp对每个节点位移取最小值,
∂πp∂ˆd1x=12k(−2ˆd2x+2ˆd1x)−ˆf1x∂πp∂ˆd2x=12k(2ˆd2x−2ˆd1x)−ˆf2x
简化方程
k(−ˆd2x+ˆd1x)=ˆf1xk(ˆd2x−ˆd1x)=ˆf2x
矩阵形式
ˆk_=[k−k−kk]
参考文献:
1、有限元方法基础教程 p56
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