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推导有限元格式的几种方法6

1、伽辽金法

没有分布载荷

ddˆx(AEdˆudˆx)

伽辽金法:

L0ddˆx(AEdˆudˆx)Nidˆx

分布积分

(NiAEdˆudˆx)|L0L0AEdˆudˆ(x)dNidˆxdˆx

分布积分中引入了边界条件。

由于 ˆu=[N]ˆd , 因此

dˆudˆx=[1L1L]{d1xˆd2x}

将上述公式代入分布积分后的公式

AEL0dNidˆ(x)[1L1L]dˆx{d1xˆd2x}=(NiAEdˆudˆx)|L0

上述方程是两个方程,一个Ni=N1 ,一个Ni=N2

利用Ni=N1 得出

AEL0dN1dˆ(x)[1L1L]dˆx{d1xˆd2x}=(N1AEdˆudˆx)|L0

替换dNi/dˆ(x), 得出

AEL0[1L][1L1L]dˆx{d1xˆd2x}=ˆf1x

式中ˆf1x=AE(dˆu/dˆx), 因为 x=0 时,N1=1, x=L 时,N1=0

AELL0[1L][1L1L]{ˆd1xˆd2x}=(N2AEdˆudˆx)|L0

简化方程

AEL(ˆd2xˆd1x)=ˆf2x

参考文献 :

1、有限元法基础教程 p102

2、直接刚度法

节点力与节点位移的关系,此关系是刚度矩阵

{f1xˆf2x}[k21k22k21k22]

位移函数

ˆu=a1+a2ˆx

矩阵形式

ˆu=[1ˆx]{a1a2}

位移用节点位移表示

ˆu(0)=ˆd1x=a1ˆu(L)=ˆd2x=a2L+ˆd1x

弹簧示意图

屏幕截图 2024-06-15 184018

a1=ˆd2xˆd1xL

ˆu=(ˆd2xˆd1xL)+ˆd1x

写成矩阵形式

ˆu=[1ˆxLˆxL]{ˆd1xˆd2x}

或者

ˆu=[N1N2]{ˆd1xˆd2x}

其中

N1=1ˆ(x)LN2=ˆ(x)L

其中N1 叫形函数

弹簧变形

δ=ˆd2xd1x

应变应力关系用力位移关系代替

T=kδ

代入

T=k(ˆd2xd1x)

力的平衡

ˆf1x=Tˆf2x=T

联合得出

T=ˆf1x=k(ˆd2xˆd1x)T=ˆf2x=k(ˆd2xˆd1x)

重写方程

ˆf1x=k(ˆd1xˆd2x)ˆf2x=k(ˆd2xˆd1x)

矩阵形式

ˆk_=[kkkk]

线性弹簧的刚度矩阵

K_=[K]=Ne=1k_eF_=[F]=Ne=1f_e

参考文献:

1、有限元方法基础教程 p20

3、势能法

总势能

πp=12k(ˆd2xˆd1x)2ˆf1xˆd1xˆf2xˆd2x

式中$ \hat{d}{2x}-\hat{d} $ 是弹簧的变形

方程的第一项是弹簧的应变能,简化方程

πp=12k(ˆd22x2ˆd2xˆd1x+ˆd21x)ˆf1xˆd1xˆf2xˆd2x

πp对每个节点位移取最小值,

πpˆd1x=12k(2ˆd2x+2ˆd1x)ˆf1xπpˆd2x=12k(2ˆd2x2ˆd1x)ˆf2x

简化方程

k(ˆd2x+ˆd1x)=ˆf1xk(ˆd2xˆd1x)=ˆf2x

矩阵形式

ˆk_=[kkkk]

参考文献:

1、有限元方法基础教程 p56

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