应力分析7

3.1 几个基本概念
3.3 任意斜截面上的应力
3.4 主应力及应力（张量）不变量
3.5 最大、最小正应力和最大剪应力

3.1 几个基本概念

• 外力
外力指的是我们熟知的机械力、电磁力等，物体因外力作用而变形。作用于物体的外力可分为体积力和表面力，它们分别简称为体力和面力。

体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。一般来说，物体内各点所受体力是各不相同的。

面力是分布在物体表面上的力，如流体压力和接触力等。物体内各点所受面力一般也是各不相同的。

为了表述物体表面某一点 P 所受面力的大小和方向，取包含点 P 的一微小表面区域，它的面积为。设作用于上的面力为 $\overrightarrow {\Delta T}$ , 则称 $\overrightarrow {\Delta T} / \Delta S$ 为面力的平均集度。设面力为连续分布，命无限减小而趋于点 P P ，则 $\overrightarrow {\Delta T} / \Delta S$ 将趋于一极限，即

\vec{P} = lim_{Δ S \to 0} \frac{\bar{Δ T}}{Δ S} = T_{i} {\vec{i}}_{i} = T_{x} \vec{i} + T_{y} \vec{j} + T_{z} \vec{k}

$\vec{P}=\lim_{\Delta S\to0}\frac{\overline{\Delta T}}{\Delta S}=T_{i}\vec{i}_{i}=T_{x}\vec{i}+T_{y}\vec{j}+T_{z}\vec{k}$

式中 $T_x,T_y,T_z$ 为面力沿三个坐标轴分量。规定面力沿三个坐标轴分量与坐标轴的正向相同时为正，反之为负。

物体由于外力的作用，内部将产生抵抗外力的力，即内力。通常用应力这个概念来描述内力的大小。

物体内一点 P 的全应力定义为：

\vec{p} = lim_{Δ S \to 0} \frac{\vec{Δ P}}{Δ S}

$\vec{p}=\lim_{\Delta S\to0}\frac{\overrightarrow{\Delta P}}{\Delta S}$

通常，我们将全应力分解成两个分量：一个是沿截面法线 v 方向，该方向的分量称为正应力并用 $\sigma$ 表示；另一个是位于截面上的分量，称为剪应力( ( 或切应力) ) 用 $\tau$ 表示。

3.2 一点的应力状态与应力张量• 点 P 的应力与通过该点的截面方位相关，通过点 P 的截面不同，按定义所确定的应力也将不同。要确定点 P 的应力，需要确定过点 P 所有截面上的应力。• 一点的应力状态就是指通过物体内一点的所有截面上的应力集合。

为确定一点的应力状态，通过该点截取一个微小的正六面体，研究表明：只要该正六面体六个面上的应力已知，过该点其它任意方向截面上的应力均可以确定下来。

正应力和剪应力的表示，例如 $\sigma_x\tau_{xy}$

正应力与剪应力的正负号规定：

如果某一个截面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，这个截面称为正面，正面上的应力正负号规定为与坐标轴的正方向一致时为正，反之为负；相反，如果某一个截面的外法线方向与坐标轴的正方向反向，这个截面称为负面，负面上的应力正负号规定。

描述一点应力状态的九个应力分量

σ_{x}, τ_{x y}, τ_{x z}, σ_{y}, τ_{y x}, τ_{y z}, σ_{z}, τ_{z x}, τ_{z y}

$\sigma_x,\quad\tau_{xy},\quad\tau_{xz},\quad\sigma_y,\quad\tau_{yx},\quad\tau_{yz},\quad\sigma_z,\quad\tau_{zx},\quad\tau_{zy}$

可用矩阵形式表达为

[\begin{matrix} σ_{x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & σ_{y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & σ_{z} \end{matrix}] ⟹ [\begin{matrix} σ_{x x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & σ_{y y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}] ⟹ [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}\sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\\tau_{yx}&\sigma_y&\tau_{yz}\\\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_z\end{bmatrix} \implies \begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\\tau_{yx}&\sigma_{yy}&\tau_{yz}\\\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{zz}\end{bmatrix} \implies \begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{bmatrix}$

采用张量下标记号，可表示成

(σ_{i j}) = (\begin{array}{ccc} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{array})

$\left(\sigma_{ij}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{array}\right)$

研究表明， $\sigma_{ij}$ 的九个分量构成二阶张量，我们称之为应力张量

六个剪应力并不都是独立的，它们之间具有一定的互等关系。

τ_{y z} = τ_{z y} τ_{z x} = τ_{x z} τ_{x y} = τ_{y x}

$\tau_{yz}=\tau_{zy}\quad\tau_{zx}=\tau_{xz}\quad\tau_{xy}=\tau_{yx}$

剪应力之间的这种两两相等的关系，称为剪应力互等定理。

3.3 任意斜截面上的应力

设通过点 P 并平行于坐标面的三个微分面上的应力为巳知，现在来确定通过该点的某一斜微分面上的应力点 P 附近取一斜微分面 abc ，其外法线 v 与各坐标轴的方向余弦为：

\cos (\vec{ν}, x) = l \cos (\vec{ν}, y) = m \cos (\vec{ν}, z) = n

$\cos(\vec{\nu},x)=l\\\cos(\vec{\nu},y)=m\\\cos(\vec{\nu},z)=n$

列出 x 、y 和 z 三个方向上的平衡方程可得

T_{x} = σ_{x} l + τ_{x y} m + τ_{x z} n T_{y} = τ_{y x} l + σ_{y} m + τ_{y z} n T_{x} = τ_{z x} l + τ_{z y} m + σ_{z} n

$T_{x}=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n\\T_{y}=\tau_{yx}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n\\T_{x}=\tau_{zx}l+\tau_{zy}m+\sigma_{z}n$

采用张量下标记号法，有

T_{i} = σ_{i j} l_{j}

$T_i=\sigma_{ij}l_j$

根据张量判别定理，即知 $\sigma_{ij}$ 为二阶张量.

将 $T_x$ 、 $T_y$ 和 $T_z$ 投影到法线 $\nu$ 上，可得斜微分面上的正应力为：

\begin{aligned} σ_{ν} = T_{x} l + T_{y} m + T_{z} n \\ = σ_{x} l^{2} + σ_{y} m^{2} + σ_{z} n^{2} + 2 τ_{x y} l m + 2 τ_{y z} m n + 2 τ_{z x} n l \end{aligned}

$\begin{aligned} &\sigma_\nu=T_xl+T_ym+T_zn \\ &=\sigma_{x}l^{2}+\sigma_{y}m^{2}+\sigma_{z}n^{2}+2\tau_{xy}lm+2\tau_{yz}mn+2\tau_{zx}nl \end{aligned}$

斜微分面上的剪应力由下式求出

τ_{ν}^{2} = (T_{x}^{2} + T_{y}^{2} + T_{z}^{2}) - σ_{ν}^{2}

$\tau_\nu^2=(T_x^2+T_y^2+T_z^2)-\sigma_\nu^2$

3.4 主应力及应力（张量）不变量

若经过物体内某点的某一个斜截面上的剪应力等于零，则该斜截面上的正应力称为该点的一个主应力，该面称为该点的一个应力主面，该面的法线方向称为该点的一个应力主向。

现在取物体内任意一点例如点 P 来研究。设点 P 有一个应力主面存在，则在该应力主面上剪应力为零，该面上的全应力就应等于该面上的正应力，用 $\sigma$ 表示该面上的正应力，有：

\begin{aligned} σ l = σ_{x} l + τ_{x y} m + τ_{x z} n \\ σ m = τ_{y x} l + σ_{y} m + τ_{y z} n \\ σ n = τ_{z x} l + τ_{z y} m + σ_{z} n \end{aligned}

$\begin{aligned} &\sigma l=\sigma_xl+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n \\ &\sigma m=\tau_{yx}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n \\ &\sigma n=\tau_{zx}l+\tau_{zy}m+\sigma_zn \end{aligned}$

T_{x} = σ_{x} l + τ_{x y} m + τ_{x z} n T_{y} = τ_{y x} l + σ_{y} m + τ_{y z} n T_{x} = τ_{z x} l + τ_{z y} m + σ_{z} n

$\boxed{T_{x}=\sigma_{x}l+\tau_{xy}m+\tau_{xz}n\\T_{y}=\tau_{yx}l+\sigma_{y}m+\tau_{yz}n\\T_{x}=\tau_{zx}l+\tau_{zy}m+\sigma_{z}n}$

用张量下标记号表示，上式可表示成：

\begin{aligned} (σ_{i j} - σ δ_{i j}) l_{j} & = 0 & (a) \\ 另有: l_{i} l_{i} & = 1 & (b) \end{aligned}

$\begin{aligned}(\sigma_{ij}-\sigma\delta_{ij})l_j&=0&\text{(a)}\\\textbf{另有:}\quad l_il_i&=1&\text{(b)}\end{aligned}$

满足式 (b) 的条件，求式 (a) 的非全零解，则式 (a)的系数行列式必须等于零，即

| \begin{array}{ccc} σ_{11} - σ & σ_{21} & σ_{31} \\ σ_{12} & σ_{22} - σ & σ_{32} \\ σ_{13} & σ_{23} & σ_{33} - σ \end{array} | = 0

$\left.\left|\begin{array}{ccc}\sigma_{11}-\sigma&\sigma_{21}&\sigma_{31}\\\sigma_{12}&\sigma_{22}-\sigma&\sigma_{32}\\\sigma_{13}&\sigma_{23}&\sigma_{33}-\sigma\end{array}\right.\right|=0$

展开上式得的三次方程：

σ^{3} - J_{1} σ^{2} - J_{2} σ - J_{3} = 0

$\sigma^3-J_1\sigma^2-J_2\sigma-J_3=0$

\begin{aligned} J_{1} = σ_{11} + σ_{22} + σ_{33} = σ_{x} + σ_{y} + σ_{z} = σ_{k k} \\ J_{2} = - σ_{x} σ_{y} - σ_{y} σ_{z} - σ_{z} σ_{x} + τ_{x y}^{2} + τ_{y}^{2} = - | \begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} \\ σ_{21} & σ_{22} \end{matrix} | - | \begin{matrix} σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{32} & σ_{33} \end{matrix} | - | \begin{matrix} σ_{33} & σ_{31} \\ σ_{13} & σ_{11} \end{matrix} | \\ = - \frac{1}{2} (σ_{i i} σ_{k k} - σ_{i k} σ_{k i}) \\ J_{3} = | \begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix} | = ϵ_{i j k} σ_{i 1} σ_{j 2} σ_{k 3} \end{aligned}

$\begin{aligned} &J_{1} =\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}=\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}=\sigma_{kk} \\ &J_{2} =-\sigma_x\sigma_y-\sigma_y\sigma_z-\sigma_z\sigma_x+\tau_{xy}^2+\tau_y^2 =-\begin{vmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}\\\sigma_{21}&\sigma_{22}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}\sigma_{33}&\sigma_{31}\\\sigma_{13}&\sigma_{11}\end{vmatrix} & \\ &=-\frac12(\sigma_{ii}\sigma_{kk}-\sigma_{ik}\sigma_{ki}) \\ &J_{3} =\begin{vmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\ \sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{vmatrix}=\epsilon_{ijk} \sigma_{i1}\sigma_{j2}\sigma_{k3} \end{aligned}$

$J_{1}、J_{2}$ 和 $J_{2}$ 为应力或应力张量的三个不变量

研究表明，一点有三个主应力，对应也就有三个应力主面和三个应力主向。用 $\sigma_1$ 、 $\sigma_2$ 和 $\sigma_3$ 表示三个主应力， $\vec{n}_1$ 、 $\vec{n}_2$ 和 $\vec{n}_3$ 表示它们对应的主方向，有：

(1) 当 $\sigma_1\neq\sigma_2\neq\sigma_3$ 时， $\vec{n}_1\perp\vec{n}_2,\vec{n}_2\perp\vec{n}_3,\vec{n}_3\perp\vec{n}_1$

(2) 当有一个重根时，如 $\sigma _1= \sigma _2\neq \sigma _3$ ,则法线与 $\vec{n}_3$ 垂直的平面上的所有正应力方向均为应力主方向，且所有这些平面上正应力或主应力 $\sigma$ 为一常量， $\sigma=\sigma_1=\sigma_2;$

(3)当 $\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3$ ,任意方向均为主方向，这种应力状态称为球应力或静水应力状态。

3.5 最大、最小正应力和最大剪应力

将坐标轴的方向设置成与一点的三个主应力方向相同,三个主应力用 $\sigma_1、\sigma_2$ 、和 $\sigma_3$ 表示，轴x对应 , 轴y对应 ,轴z对应 $\sigma_3$ ,

参考文献：

posted @ 2024-10-07 01:34 redufa 阅读(269) 评论(0) 编辑收藏举报

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