三大偏微分方程
偏微分方程
在数学物理方程中，波动方程、热传导方程和泊松方程（或拉普拉斯方程）被称为“三大偏微分方程”，它们广泛应用于工程领域。
1、应用场景
| 方程名称 | 标准形式 | 关键参数说明 | 工程应用形式 |
|---|---|---|---|
| 双曲型方程: 波动方程 | \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u\) | \(u\)：位移或场量 \(c\)：波速 \(\nabla^2\)：拉普拉斯算子 |
声学工程（声波传播）：\(\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = c^2 (\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial z^2} )\) 结构力学（梁或板的振动）：\(\rho \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} + EI \frac{\partial^4 w}{\partial x^4} = 0\) 电磁学（电磁波传播）： \(\nabla^2 \mathbf{E} = \mu \epsilon \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\) |
| 抛物线方程： 热传导方程 | \(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u\) | \(u\)：温度 \(\alpha = k/(\rho c_p)\)：热扩散率 \(k\)：热导率 |
电子散热（芯片温度分布）：\(\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = k (\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} ) + Q\) 材料加工（铸造凝固过程）：\(\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T + L \frac{\partial f_s}{\partial t}\) 环境科学（土壤温度变化）：\(\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} - v \frac{\partial T}{\partial z}\) |
| 椭圆形方程： 1.泊松方程 2.拉普拉斯方程 | 泊松方程：\(\nabla^2 u = -f\) 拉普拉斯方程（\(f = 0\)时）：\(\nabla^2 u = 0\) |
- | 静电场分析（电势分布）：\(\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon}\) 结构力学（弹性膜平衡）：\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{q}{T}\) 流体力学（势流理论）：\(\nabla^2 \psi = 0\) 或 \(\nabla^2 \phi = 0\) |
| 总结 |
- 波动方程：描述能量传递（如振动、电磁波），适用于动态系统。
- 热传导方程：描述扩散过程（如温度、浓度），适用于稳态或瞬态传热。
- 泊松方程：描述静态场（如电势、应力平衡），适用于稳态分布问题。
这些方程通过调整参数、源项或边界条件，可适配具体工程场景，成为数值仿真（如有限元分析）的基础。
2、分类依据
偏微分方程的分类名称（双曲型、椭圆型、抛物型）来源于它们的数学特性与二次曲线（双曲线、椭圆、抛物线）的几何性质之间的类比。这种分类不仅反映了方程的形式特征，还暗示了它们的物理行为和求解方法。
2.1分类依据：方程的特征线
对于二阶线性偏微分方程的一般形式：\(A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \text{低阶项} = 0\)，通过判别式\(\Delta = B^2 - 4AC\)进行分类：
- 双曲型（Hyperbolic）：\(\Delta > 0\)
- 抛物型（Parabolic）：\(\Delta = 0\)
- 椭圆型（Elliptic）：\(\Delta < 0\)
这一分类与二次曲线\(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + \dots = 0\)的分类完全一致，因此得名。
2.2名称的几何与物理意义
| 方程类型 | 几何类比 | 物理特性 | 典型例子 |
|---|---|---|---|
| 双曲型方程（如波动方程） | 双曲线有两条分离的分支，对应方程有两族实特征线（如\(x + ct = \text{常数}\)和\(x - ct = \text{常数}\)） | 解的信息沿特征线传播；解的性质依赖于初始条件和部分边界条件；典型行为为能量守恒、波动传播、无耗散 | 波动方程：\(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u\) （描述声波、光波、弹性振动等） |
| 椭圆型方程（如泊松方程） | 椭圆是闭合曲线，没有实特征线，对应方程无实特征方向 | 解在整个区域内光滑分布，无传播性；解完全由全域边界条件决定；典型行为为稳态平衡、全局依赖性 | 泊松方程：\(\nabla^2 u = -f\) （描述静电场、稳态温度场、弹性静力学问题） |
| 抛物型方程（如热传导方程） | 抛物线是单分支曲线，对应方程仅有一族实特征线（如时间轴） | 解的信息沿单一方向传播；初始条件主导解的演化，边界条件影响后续状态；典型行为为扩散、耗散、趋向稳态 | 热传导方程：\(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u\) （描述热量扩散、污染物浓度变化等） |
2.3 特征线与物理行为的对应关系
| 方程类型 | 特征线数量 | 物理行为 | 典型方程 |
|---|---|---|---|
| 双曲型 | 两族实特征线 | 波动传播、信号有限速度传播 | 波动方程 |
| 椭圆型 | 无实特征线 | 稳态分布、全局依赖边界条件 | 泊松方程 |
| 抛物型 | 一族实特征线（时间轴） | 单向扩散、随时间趋近稳态 | 热传导方程 |
2.4 为什么用二次曲线命名？
- 数学同源性：二阶偏微分方程的特征方程与二次曲线方程形式一致，判别式\(\Delta = B^2 - 4AC\)的符号直接对应曲线类型。
- 解的几何特性：
- 双曲型方程的解像双曲线分支一样向不同方向传播。
- 椭圆型方程的解像闭合椭圆一样在区域内平滑分布。
- 抛物型方程的解像抛物线一样沿单一方向（如时间）演化。
2.5 工程中的直观理解
- 双曲型（如波动方程）： 桥梁的振动分析中，扰动会沿结构传播，需要关注波的反射和叠加。
- 椭圆型（如泊松方程）： 建筑结构的静力分析中，应力分布由整体形状和固定边界决定。
- 抛物型（如热方程）： 电子元件散热设计中，热量随时间从高温区扩散到低温区，最终趋于均匀。
总结
- 双曲型：信息沿特征线传播，适合动态问题（波动、振动）。
- 椭圆型：全域平衡，适合稳态问题（静力学、电势分布）。
- 抛物型：单向演化，适合扩散问题（热传导、浓度梯度）。
这种分类不仅简化了方程的数学分析，还为物理现象建模提供了直观的指导。
3、弹性力学
弹性力学的控制方程（静力学问题）通常属于椭圆型偏微分方程，与泊松方程或拉普拉斯方程同类。以下是详细分析。
3.1 弹性力学的基本方程
弹性力学的核心方程包括：
- 平衡方程（静力平衡）：\(\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{F} = 0\)，其中\(\boldsymbol{\sigma}\)是应力张量，\(\mathbf{F}\)是体积力（如重力）。
- 几何方程（应变 - 位移关系）：\(\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2} (\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^\top )\)，其中\(\boldsymbol{\varepsilon}\)是应变张量，\(\mathbf{u}\)是位移场。
- 本构方程（胡克定律，线弹性材料）：\(\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\)，其中\(\mathbf{C}\)是材料的弹性刚度张量。
将上述方程联立后，通常得到以位移场\(\mathbf{u}\)为未知量的Navier - Cauchy方程：\(\mu \nabla^2 \mathbf{u} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mathbf{F} = 0\)，其中\(\lambda\)和\(\mu\)是拉梅常数。
3.2 方程类型分析
| 问题类型 | 方程形式 | 所属类别 | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 静态问题（静力学） | \(\mu \nabla^2 \mathbf{u} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mathbf{F} = 0\) | 椭圆型偏微分方程，与泊松方程（\(\nabla^2 u = -f\)）同属一类 | 描述物体在平衡状态下的位移场分布，解的性质是全局光滑的，且依赖全域边界条件（如固定约束或外力分布） |
| 动态问题（动力学） | \(\rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2} = \mu \nabla^2 \mathbf{u} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \mathbf{F}\) | 双曲型偏微分方程，与波动方程同类 | 描述弹性波传播（如地震波或结构振动） |
3.3 工程应用中的典型形式
| 分析类型 | 方程类型 | 应用场景 | 示例方程 |
|---|---|---|---|
| 静力分析 | 椭圆型方程 | 结构设计（桥梁、建筑的应力分布）、接触力学（齿轮啮合或轴承接触问题） | \(\frac{\partial}{\partial x}\left(E \frac{\partial u}{\partial x}\right) = -F_x\)（一维弹性杆的平衡方程，\(E\)为弹性模量） |
| 动力分析 | 双曲型方程 | 地震响应（建筑物在地震载荷下的振动）、声固耦合（机械部件与声场的相互作用） | \(\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)（一维弹性杆的波动方程） |
总结
- 静力学问题：弹性力学方程属于椭圆型偏微分方程（与泊松方程同类），用于求解稳态位移和应力分布。
- 动力学问题：方程退化为双曲型偏微分方程（与波动方程同类），描述瞬态波动现象。
- 数值方法：静力问题常用有限元法（FEM）求解，动力问题还需结合时间积分算法（如Newmark法）。
4、流体力学
流体力学中的控制方程类型取决于具体的流动条件和简化假设，主要可分为椭圆型、抛物型和双曲型。以下是详细分类及示例。
4.1 不可压缩流动（Navier - Stokes方程）
| 方程组成 | 方程形式 | 分类分析 | 物理意义 | 数值方法 |
|---|---|---|---|---|
| 连续性方程 | \(\nabla \cdot \mathbf{u} = 0\) | 椭圆型 | - | - |
| 动量方程 | \(\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{F}\) | 混合型 | 稳态流动（时间无关）：与连续性方程联立后整体表现为椭圆型，速度场和压力场需满足全域的平衡条件（如管道内的层流流动） 瞬态流动（含时间项）：时间项引入抛物型特性，流动随时间扩散演化（如流体从静止启动的过程） |
稳态流动：需用迭代法（如SIMPLE算法）处理压力 - 速度耦合 |
4.2 可压缩流动（Euler方程或Navier - Stokes方程）
| 方程类型 | 方程形式 | 分类分析 | 物理意义 | 典型应用 |
|---|---|---|---|---|
| 无粘可压缩流动（Euler方程） | 连续性方程：\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0\) 动量方程：\(\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = -\nabla p\) 能量方程：\(\frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot (E \mathbf{u} + p \mathbf{u}) = 0\) |
双曲型 | 扰动以有限速度传播（如激波、膨胀波），特征线为实数 | 超声速流动、激波捕捉（需双曲型数值格式，如Riemann求解器） |
| 含粘性项的可压缩流动（Navier - Stokes方程） | 在Euler方程基础上，动量方程加入粘性项\(\mu \nabla^2 \mathbf{u}\) | 双曲 - 抛物混合型 | 粘性耗散与波动传播共存（如边界层流动） | - |
3.3 势流理论（无旋不可压缩流动）
| 方程形式 | 分类分析 | 物理意义 |
|---|---|---|
| \(\nabla^2 \phi = 0\)（拉普拉斯方程，椭圆型），其中\(\phi\)为速度势函数 | 椭圆型方程 | 无旋流动的简化模型，忽略粘性和涡量。通过求解该方程得到的速度势分布，可计算机翼表面的速度和压力分布，评估机翼升力性能 |
3.4 边界层方程
| 方程形式 | 分类分析 | 物理意义 |
|---|---|---|
| \(u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\)（二维稳态，抛物型） | 抛物型方程 | 沿流动方向（\(x\)）逐步求解，无需全局迭代（如平板边界层流动）。粘性效应主导，流动方向单向演化，可计算边界层的厚度以及壁面摩擦阻力等重要参数 |
3.5 总结：流体力学方程的归类
| 流动类型 | 方程类型 | 物理特性 | 典型场景 |
|---|---|---|---|
| 不可压缩稳态流动 | 椭圆型 | 全域平衡，依赖边界条件 | 管道层流、静水压力分布 |
| 不可压缩瞬态流动 | 抛物型（粘性主导） | 时间单向扩散 | 启动流、低雷诺数流动 |
| 可压缩无粘流动 | 双曲型 | 波动传播，实特征线 | 超声速流动、激波结构 |
| 可压缩粘性流动 | 双曲 - 抛物混合型 | 粘性耗散与波动共存 | 高雷诺数湍流、边界层交互 |
| 势流 | 椭圆型 | 无旋，全域光滑解 | 机翼升力计算、势流绕流 |
3.6 关键点
-
不可压缩流动通常涉及椭圆型（稳态）或抛物型（瞬态）方程。
-
可压缩无粘流动（Euler方程）本质为双曲型，适合描述波动现象。
-
粘性项的加入会引入抛物型特性（如Navier - Stokes方程）。
-
数值方法选择：
-
椭圆型问题用迭代法（如多重网格法）。
-
抛物型问题用时间步进法（如隐式欧拉法）。
-
双曲型问题用特征线法或Godunov格式。
通过方程类型的判别，可选择合适的数学模型和数值工具，更高效地解决流体力学问题。
-
5. 电磁方程
麦克斯韦方程组在时变情况下属于双曲型偏微分方程，而在静态或稳态情况下部分方程退化为椭圆型。以下是详细分类及分析：
5.1. 动态情况（时变电磁场）
麦克斯韦方程组（真空中的完整形式）：
\[\begin{cases}
\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \quad &\text{(高斯定律)} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad &\text{(高斯磁定律)} \\
\nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \quad &\text{(法拉第定律)} \\
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad &\text{(安培-麦克斯韦定律)}
\end{cases}
\]
分类分析：
- 波动方程形式：
通过消去电场 \(\mathbf{E}\) 或磁场 \(\mathbf{B}\)，可推导出标准的波动方程。例如，在无源（\(\rho=0, \mathbf{J}=0\)）情况下：
\[ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \quad \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}
\]
这类方程是典型的双曲型方程，其解以波的形式传播，速度为 \(c = 1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}\)（光速）。
- 物理意义：
电磁场扰动（如光波、无线电波）以有限速度传播，满足双曲型方程的核心特征——存在实特征线（波前）。 - 数值方法：
时域求解需采用适用于双曲型方程的算法（如时域有限差分法，FDTD）。
5.2 静态情况（静电场与静磁场）
当电场和磁场不随时间变化（\(\partial/\partial t = 0\)），麦克斯韦方程组退化为：
\[\begin{cases}
\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \quad &\text{(静电场)} \\
\nabla \times \mathbf{E} = 0 \\
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad &\text{(静磁场)} \\
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}
\end{cases}
\]
分类分析：
- 静电场方程：
\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0\) 和 \(\nabla \times \mathbf{E} = 0\) 可合并为电势的泊松方程：
\[ \nabla^2 \phi = -\dfrac{\rho}{\epsilon_0}
\]
这属于椭圆型方程，解由全域电荷分布和边界条件唯一确定。
- 静磁场方程：
\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) 和 \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) 可引入磁矢势 \(\mathbf{A}\)，得到：
\[ \nabla^2 \mathbf{A} = -\mu_0 \mathbf{J}
\]
同样属于椭圆型方程。
5.3 耗散介质中的修正
若考虑导电介质（\(\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}\)，\(\sigma\) 为电导率），安培定律变为：
\[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \sigma \mathbf{E} + \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\]
此时电场方程可能表现出抛物型特性（扩散项主导），例如：
\[\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \sigma \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
\]
- 双曲-抛物混合型：高频时波动项（双曲型）主导，低频时扩散项（抛物型）显著。
5.4 分类总结
| 场景 | 方程类型 | 物理行为 | 典型应用 |
|---|---|---|---|
| 动态电磁场（真空） | 双曲型 | 电磁波传播（如光、微波） | 天线设计、电磁波仿真 |
| 静电场/静磁场 | 椭圆型 | 场由源和边界条件全局确定 | 电容器电场、永磁体磁场分析 |
| 导电介质时变场 | 双曲-抛物混合型 | 波动与扩散共存（如趋肤效应） | 电磁屏蔽、涡流损耗计算 |
5.5 关键结论
- 麦克斯韦方程组本质是双曲型：时变情况下描述电磁波传播，符合双曲型方程的核心特征。
- 静态极限退化为椭圆型：静电场和静磁场问题转化为泊松方程或拉普拉斯方程。
- 介质影响方程类型：导电性引入扩散项，可能使方程呈现混合特性。
理解方程类型对数值模拟方法的选择至关重要：
- 双曲型：需用时域方法（如FDTD、间断伽辽金法）。
- 椭圆型：需用迭代法（如有限元法、多重网格法）。
- 混合型：需结合时间步进与空间离散策略（如隐式-显式混合格式）。
6、代码示例
以下是针对双曲型（波动方程）、抛物型（热传导方程）和椭圆型（泊松方程）三类偏微分方程的简单数值求解代码示例（使用Python和有限差分法），包含可视化。
6.1 椭圆型方程：二维泊松方程
- 方程形式：\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -f(x,y)\)
- 示例问题：在单位正方形区域$ (x,y) \in [0,1] \times [0,1] \(上，边界条件为\) u = 0 \(，源项\) f(x,y) = 1 $。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 参数设置
nx, ny = 50, 50 # 网格点数
dx = 1.0 / (nx - 1)
dy = 1.0 / (ny - 1)
x = np.linspace(0, 1, nx)
y = np.linspace(0, 1, ny)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# 初始化解和源项
u = np.zeros((ny, nx))
f = np.ones((ny, nx)) # 源项 f(x,y)=1
# Jacobi迭代求解
max_iter = 1000
tolerance = 1e-4
for _ in range(max_iter):
u_old = u.copy()
for i in range(1, ny - 1):
for j in range(1, nx - 1):
u[i, j] = 0.25 * (u_old[i + 1, j] + u_old[i - 1, j] + u_old[i, j + 1] + u_old[i, j - 1] + dx ** 2 * f[i, j])
# 判断收敛
if np.max(np.abs(u - u_old)) < tolerance:
break
# 可视化
plt.contourf(X, Y, u, cmap='viridis')
plt.colorbar()
plt.title("Poisson Equation Solution (Elliptic)")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()
6.2 抛物型方程：一维热传导方程
- 方程形式： \(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
- 示例问题：初始温度分布$ u(x,0) = \sin(\pi x) \(，边界条件\) u(0,t)=u(1,t)=0 \(，热扩散率\) \alpha = 0.01 $。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 参数设置
nx = 100 # 空间网格数
nt = 1000 # 时间步数
dx = 1.0 / (nx - 1)
dt = 0.001 # 需满足稳定性条件 dt <= dx²/(2α)
alpha = 0.01
x = np.linspace(0, 1, nx)
u = np.sin(np.pi * x) # 初始条件
# 显式欧拉法求解
for _ in range(nt):
u_new = u.copy()
for i in range(1, nx - 1):
u_new[i] = u[i] + alpha * dt / dx ** 2 * (u[i + 1] - 2 * u[i] + u[i - 1])
u = u_new
# 固定边界条件
u[0] = 0
u[-1] = 0
# 可视化
plt.plot(x, u, label='Final Temperature')
plt.plot(x, np.sin(np.pi * x) * np.exp(-alpha * np.pi ** 2 * nt * dt), 'r--', label='Analytical')
plt.title("1D Heat Equation (Parabolic)")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("u(x,t)")
plt.legend()
plt.show()
6.3 双曲型方程：一维波动方程
- 方程形式： \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
- 示例问题：初始位移$ u(x,0) = \exp(-100(x - 0.5)^2) \(，初始速度\) \partial u/\partial t|_{t = 0} = 0 \(，波速\) c = 1 \(，边界条件为固定端\) u(0,t)=u(1,t)=0 $。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 参数设置
nx = 200 # 空间网格数
nt = 400 # 时间步数
dx = 1.0 / (nx - 1)
dt = 0.002 # 需满足 CFL条件 c*dt/dx <= 1
c = 1.0
x = np.linspace(0, 1, nx)
u = np.exp(-100 * (x - 0.5) ** 2) # 初始位移（高斯脉冲）
u_prev = u.copy() # 初始速度为零
# 蛙跳法（Leapfrog）求解
for _ in range(nt):
u_next = np.zeros(nx)
for i in range(1, nx - 1):
u_next[i] = 2 * u[i] - u_prev[i] + (c * dt / dx) ** 2 * (u[i + 1] - 2 * u[i] + u[i - 1])
u_prev, u = u.copy(), u_next
# 固定边界条件
u[0] = 0
u[-1] = 0
# 可视化
plt.plot(x, u, label='Wave at t={}'.format(nt * dt))
plt.title("1D Wave Equation (Hyperbolic)")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("u(x,t)")
plt.ylim(-0.5, 1.2)
plt.legend()
plt.show()
6.4 代码说明
| 方程类型 | 求解方法 | 关键要点 |
|---|---|---|
| 椭圆型方程 | 通过Jacobi迭代求解泊松方程 | 适用于稳态场问题。迭代过程中不断更新每个网格点上的解，直到满足收敛条件，反映椭圆型方程解依赖全域边界条件的特性 |
| 抛物型方程 | 显式欧拉法模拟热扩散 | 需注意稳定性条件$ \alpha \Delta t / \Delta x^2 \leq 0.5 $。若不满足该条件，数值解可能出现不稳定现象，导致计算结果与实际物理情况严重不符 |
| 双曲型方程 | 蛙跳法捕捉波动传播 | 需满足CFL条件$ c \Delta t / \Delta x \leq 1 $。该条件保证在数值计算中，信息的传播速度不超过物理上的波速，从而确保数值解的稳定性和准确性 |
浙公网安备 33010602011771号