中国剩余定理

CRT

\(f(x)=\left\{ {\begin{array}{}x\equiv a_1(mod\ m_1)\\x\equiv a_2(mod\ m_2)\\\cdots\\x\equiv a_n (mod\ m_n)\end{array}} \right.\)

任意两个\(m_i\)互质，求\(x\)。

设\(rem=\prod_1^nm_i\)，得\(gcd(m_i,\frac{rem}{m_i})=1\)。

设\(k\)，\(k\)满足：

\(k\times \frac{rem}{m_i} \%m_i=1\)

得:

\(k\times \frac{rem}{m_i} \% m_j = \left\{ {\begin{array}{}1(i=j)\\0(i\ne j)\end{array}} \right.\)

那么得：

\(a_i\times k\times \frac{rem}{m_i} \% m_j = \left\{ {\begin{array}{}a_i(i=j)\\0(i\ne j)\end{array}} \right.\)

\(k\)为\(\frac{rem}{m_i}\)逆元。

答案：\(x=\sum _1^n a_i \times k \times \frac{rem}{m_i}\)

exCRT

我们现在，去除掉\(m_i\)互质的条件。

在这种情况下，是有可能无解的。

我们选取第\(1,2\)组\(x\equiv a_i(mod\ m_i)\)

设\(x=a_i+m_i\times k_i\)

有：\(a_1+m_1 \times k_1=a_2+m_2\times k_2=\cdots=x\)

\(m_1\times k_1-m_2\times k_2=a_2-a_1\)

两边同除以\(gcd(m_1,m_2)\)。

得:

\(\frac{m_1\times k_1}{gcd(m_1,m_2)}-\frac{m_2\times k_2}{gcd(m_1,m_2)}=\frac{a_2-a_1}{gcd(m_1,m_2)}\)

我们现在简写\(gcd(m_1,m_2)\)为\(gcd\)。

易得，因为等式左边是整数，若右边无法整除，则无解。

那么现在等式为：

\(\frac{m_1}{gcd}\times k1-\frac{m_2}{gcd}\times k2=\frac{a_2-a_1}{gcd}\)

可以知道\(\frac{m_1}{gcd}\)和\(\frac{m_2}{gcd}\)互质。

则现在设\(q\)和\(p\)。根据裴蜀定理。

有：\(\frac{m_1}{gcd}\times p+\frac{m_1}{gcd}\times q = 1\)

\(p\)和\(q\)通过扩展欧几里得(\(exgcd\))求出。

而\(k_1=p\times \frac{a_2-a_1}{gcd},k_2=q\times \frac{a_2-a_1}{gcd}\)

那么我们现在得到了一二组的解，我们将一二组合并为一组：新的一组的

\(a=k_1\times m_1+a_1\)

\(m=lcm(m_1,m_2)\)

\(a\)就是\(1,2\)组的答案，并且这个最小的非负数答案一定不会超过\(m\)。

以此类推。

最后\(x\)的答案就是合并所有组后的\(a\)。