题解：P7306 [COCI2018-2019#1] Strah

分享一个 $O(nm\log m)$ 的方法。

分析

考虑每次在 $x$ 轴上固定左端点，然后移动 $x$ 轴上的右端点，并统计答案。

考虑如何统计一个 $1\times n$ 的区域的贡献。

显然长度为 $i$ 的区间有 $n-i+1$ 个，所以贡献即为：

$$\begin{array}{rl}f(n)=& \sum _{i=1}^{n}i(n-i+1)\\ =& \sum _{i=1}^n(n+1)i-i^2\\ =& \left((n+1)\sum _{i=1}^{n}i\right)-\left(\sum _{i=1}^n{i}^2\right)\\ =& \left((n+1)\frac{n(n+1)}{2}\right)-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ =& \frac{n{(n+1)}^2}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ =& \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\end{array}$$

所以 $x$ 轴左端点为 $l$，右端点为 $r$，高度为 $h$ 的矩形区域的贡献为 $(r-l+1)\cdot f(h)$。

用 $m$ 个 deque 来记录 $y=m$ 的不适宜种植的格子的位置，再用一个 set 记录当前被占用的格子的位置。

每次移动 $r$ 都先将 $x=r$ 的不适宜种植的格子加入 set 中，然后统计答案。

时间复杂度 $O(nm\log m)$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2003
 
deque<int> lx[maxn];
 
int64_t f(int64_t n) {return n*(n+1)*(n+2)/6;}
string str;
set<int> s;
vector<int> dts[maxn];
 
int main()
{
    int n, m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>str;
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(str[j-1]=='#') lx[j].emplace_back(i);
    }
    int64_t ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++) lx[i].emplace_back(n+1);
    for(int l=1;l<=n;l++)
    {
        s.clear();
        s.emplace(0);
        s.emplace(m+1);
        int64_t sum=f(m);
        for(int i=l;i<=n;i++) dts[i].clear();
        for(int i=1;i<=m;i++) 
            if(lx[i].front()==l-1) lx[i].pop_front();
        for(int i=1;i<=m;i++) 
            dts[lx[i].front()].emplace_back(i);
        for(int r=l;r<=n;r++)
        {
            for(auto p:dts[r])
            {
                auto nxt=s.lower_bound(p);
                auto pre=prev(nxt);
                sum-=f(*nxt-*pre-1);
                sum+=f(*nxt-p-1);
                sum+=f(p-*pre-1);
                s.emplace(p);
            }
            ans+=sum*(r-l+1);
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';
}