题解：P8343 [COCI2021-2022#6] Zemljište

题意

给定一个 $r\times s$ 的矩阵，每个点给定一个权值，要求求出一个子矩阵，其权值和为 $w$，使 $|w-a|+|w-b|$ 最小。

分析

考虑枚举子矩阵。

首先预处理二维前缀和用于快速计算矩阵和。

可以暴力枚举左上角 $(x_1,y_1)$ 和右下角 $(x_2,y_2)$，这个做法是 $O(n^4)$ 的，显然一般情况下不能通过本题。

---

因为每个点的权值都大于 $0$，所以显然一个确定了 $x_1,x_2,y_1$ 矩阵的权值随 $y_2$ 的递增而单调递增。

考虑枚举 $x_1,x_2$，在确定 $x_1,x_2$ 后用双指针移动 $y_1,y_2$ 求出权值小于等于 $max(a,b)$ 的最大权值的矩阵以及权值大于 $max(a,b)$ 的最小权值的矩阵，用它们的权值更新答案。

这时时间复杂度下降至 $O(n^3)$，可以通过本题。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 505
 
int64_t va[maxn][maxn];
 
#define query(x1, y1, x2, y2) (va[x2][y2]-va[x2][y1-1]-va[x1-1][y2]+va[x1-1][y1-1])
 
int main()
{
    int n, m, a, b;
    cin>>n>>m>>a>>b;
    if(a>b) swap(a, b);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>va[i][j];
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        for(int j=1;j<=m+1;j++)
            va[i][j]+=va[i-1][j]+va[i][j-1]-va[i-1][j-1];
    int64_t ans=0x7fffffff;
    for(int l=1;l<=n;l++)
        for(int r=l;r<=n;r++)
            for(int x=1, y=1;x<=m;x++)
            {
                if(y<x) y=x;
                while(y+1<=m&&query(l, x, r, y+1)<=b) y++;
                int64_t v=query(l, x, r, y);
                ans=min(ans, abs(a-v)+abs(b-v));
                v=query(l, x, r, y+1);
                ans=min(ans, abs(a-v)+abs(b-v));
            }
    cout<<ans;
}