题解：CF915G Coprime Arrays

题意

我们称一个大小为 $n$ 的数组 $a$ 互质，当且仅当 $gcd(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=1$。

给定 $n,k$，对于每个 $i$ $(1\le i\le k)$，你都需要确定这样的数组的个数——长度为 $n$ 的互质数组 $a$ ，满足对每个 $j$ $(1\le j\le n)$，都有 $1\le a_j\le i$。

分析

我们设 $f(x)$ 为 $x$ 所对应的互质数组的个数。

按照题意，可以列出这样一个式子：

$$f(x)=\sum _{a_1=1}^x\sum _{a_2=1}^x\cdots \sum _{a_n=1}^x[\underset{i=1}{\overset{n}{gcd}}{a}_i=1]$$

简单推一下式子：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{a_1=1}^x\sum _{a_2=1}^x\cdots \sum _{a_n=1}^x[\underset{i=1}{\overset{n}{gcd}}{a}_i=1]\\ & =\sum _{a_1=1}^x\sum _{a_2=1}^x\cdots \sum _{a_n=1}^x\epsilon \left(\underset{i=1}{\overset{n}{gcd}}{a}_i\right)\end{array}$$

因为 $\mu \ast \mathbf{1}=\epsilon$，即 $\epsilon (x)=\sum _{d|x}\mu (d)$ 所以有：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{a_1=1}^x\sum _{a_2=1}^x\cdots \sum _{a_n=1}^x\sum _{d|\underset{i=1}{\overset{n}{gcd}}{a}_i}\mu (d)\\ & =\sum _{a_1=1}^x\sum _{a_2=1}^x\cdots \sum _{a_n=1}^x\sum _{d|a_1,\cdots ,d|a_n}\mu (d)\end{array}$$

变换求值顺序，枚举 $d$：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{d=1}^x\mu (d)\sum _{a_1=1}^{\lfloor \frac{x}{d}\rfloor }\sum _{a_2=1}^{\lfloor \frac{x}{d}\rfloor }\cdots \sum _{a_n=1}^{\lfloor \frac{x}{d}\rfloor }1\\ & =\sum _{d=1}^x\mu (d){\lfloor \frac{x}{d}\rfloor }^n\end{array}$$

于是我们得到了一个 $O(k\sqrt{k}+k\log n)$ 的做法。

在 $n,k\le 2\times {10}^6$ 的规模下，无法通过本题。

---

有个显然的引理：

$$d|x\iff \lfloor \frac{x}{d}\rfloor =\lfloor \frac{x-1}{d}\rfloor +1$$

据此考虑差分：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }f(x)& =f(x)-f(x-1)\\ & =\sum _{d=1}^x\mu (d){\lfloor \frac{x}{d}\rfloor }^n-\sum _{d=1}^{x-1}\mu (d){\lfloor \frac{x-1}{d}\rfloor }^n\\ & =\sum _{d=1}^x\mu (d)({\lfloor \frac{x}{d}\rfloor }^n-{\lfloor \frac{x-1}{d}\rfloor }^n)\end{array}$$

根据上述引理，当且仅当 $d|x$ 时 $({\lfloor \frac{x}{d}\rfloor }^n-{\lfloor \frac{x-1}{d}\rfloor }^n)\ne 0$，所以上式可以如下改写：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }f(x)& =\sum _{d|x}\mu (d)({\lfloor \frac{x}{d}\rfloor }^n-{\lfloor \frac{x-1}{d}\rfloor }^n)\end{array}$$

所以，我们可以枚举 $d$，然后将所有满足 $d|x$ 的 $\mathrm{\Delta }f(x)$ 加上 $\mu (d)({\lfloor \frac{x}{d}\rfloor }^n-{\lfloor \frac{x-1}{d}\rfloor }^n)$。

通过前缀和统计答案。

时间复杂度 $O(k\log n+k\log k)$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2000006
#define mod 1000000007
 
int mu[maxn];
bool vis[maxn];
vector<int> pri;
void init()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!vis[i]) mu[i]=-1, vis[i]=1, pri.emplace_back(i);
        for(auto p:pri)
        {
            if(p*i>=maxn) break;
            vis[p*i]=1;
            if(i%p==0) break;
            mu[i*p]=-mu[i];
        }
    }
}
 
int ksm(int64_t x, int l)
{
    int64_t ret=1;
    for(;l;l>>=1, x=x*x%mod)
        if(l&1) ret=ret*x%mod;
    return ret;
}
 
int lev[maxn], det[maxn];
 
int main()
{
    int n, k;
    cin>>n>>k;
    init();
    for(int i=1;i<=k;i++) 
        lev[i]=ksm(i, n);
    for(int d=1;d<=k;d++)
        for(int j=1;d*j<=k;j++)
            det[d*j]=((det[d*j]+mu[d]*(mod+(lev[j]-lev[j-1])%mod)%mod)%mod+mod)%mod;
    int ans=0, otp=0;
    for(int i=1;i<=k;i++) 
        otp=(otp+(i^(ans=(ans+det[i])%mod)))%mod;
    cout<<otp%mod;
}