题解：P3266 [JLOI2015] 骗我呢

题意

有一个 $n\times m$ 的数组 $x_{i,j}(1\le i\le n,1\le j\le m)$，满足：

• $x_{i,j}\in [0,m]$

• $\mathrm{\forall }i\in [1,n],\mathrm{\forall }j\in [1,m),x_{i,j}<x_{i,j+1}$

• $\mathrm{\forall }i\in (1,n],\mathrm{\forall }j\in [1,m),x_{i,j}<x_{i-1,j+1}$

求可能的数组 $x_{i,j}$ 的解数，答案对 ${10}^9+7$ 取模。

分析

首先根据 $x_{i,j}<x_{i,j+1}$ 得到 $i$ 相同的一行 $m$ 个元素是单调上升的。

又因为 $x_{i,j}\in [0,m]$，所以这一行就是 $0\sim m$ 的序列中去掉一个元素。

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考虑使用 dp。

令 $d{p}_{i,j}$ 为第 $i$ 行去掉元素 $j$ 的解数。

模拟过程可得若第 $i$ 行去除元素 $j$，那么第 $i-1$ 行可以去除 $[0,j+1]$ 中的任一元素。

所以得到转移方程：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& d{p}_{i,j}& =\sum _{k=0}^{j+1}d{p}_{i-1,k}\text{(2)}& & =\sum _{k=0}^{j}d{p}_{i-1,k}+d{p}_{i-1,j+1}\text{(3)}& & =d{p}_{i,j-1}+d{p}_{i-1,j+1}\end{array}$$

答案即为 $\sum _{k=0}^{m}d{p}_{n,k}=d{p}_{n+1,m-1}$。

转移过程如下（$n=3,m=4$）：

我们将这个图像拉伸，平移一下：

发现就是求从 $(0,0)$ 到 $(n+m-1,n)$ 且只能向上和向右且与直线 $l_1:y=x+2$ 和直线 $l_2:y=x-m-1$ 不交的路径数。

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考虑使用反射容斥。

由容斥得：答案为总方案数 - 经过 $l_1$ - 经过 $l_2$ + 经过 $l_1{l}_2$ + 经过 $l_2{l}_1$ - 经过 $l_1{l}_2{l}_1$ - 经过 $l_2{l}_1{l}_2$...

考虑如何计算每一部分。

已知从点 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 只能向上和向右的路径数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n})$。

总方案数为原点到到 $(n+m-1,n)$ 的方案数。

经过 $l_1$ 的方案数为原点到目标点 $A$ 沿 $l_1$ 对称得到的 $A^{\prime }$ 的方案数。

经过 $l_1{l}_2$ 的方案数如何求解？

$l_1$ 沿 $l_2$ 对称得到直线 $l_1^{\prime }$。

将 $A^{\prime }$ 沿 $l_1^{\prime }$ 对称得到 $A^{″}$。

方案数即为原点到 $A^{″}$ 的方案数。

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若某次对称得到的点 $A_x$ 不在第一象限，那么结束循环。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
#define maxn 4000006
 
int pre[maxn], inv[maxn];
int64_t ksm(int64_t x, int l)
{
    int64_t ret=1;
    for(;l;l>>=1, x=x*x%mod)
        if(l&1) ret=ret*x%mod;
    return ret;
}
 
int C(int n, int m) {return ((int64_t)pre[n]*inv[n-m]%mod)*inv[m]%mod;}
 
typedef pair<int, int> pos_t;
int path_count(pos_t p) {return C(p.first+p.second, p.first);}
pos_t reflect(int a, pos_t p) {return {p.second-a, a+p.first};}
int reflect(int a, int b) {return (a<<1)-b;}
 
int main()
{
    pre[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++) pre[i]=(int64_t)pre[i-1]*i%mod;
    inv[maxn-1]=ksm(pre[maxn-1], mod-2);
    for(int i=maxn-2;~i;i--) inv[i]=(int64_t)inv[i+1]*(i+1)%mod;
    int n, m;
    cin>>n>>m;
    int a1=2, a2=-m-1;
    int mul=-1, ans=path_count({n+m-1, n});
    for(pos_t p=reflect(a1, {n+m-1, n});p.first>=0&&p.second>=0;)
    {
        ans=((ans+mul*path_count(p))%mod+mod)%mod;
        a2=reflect(a1, a2);
        swap(a1, a2);
        p=reflect(a1, p);
        mul*=-1;
    }
    mul=-1;
    a1=-m-1, a2=2;
    for(pos_t p=reflect(a1, {n+m-1, n});p.first>=0&&p.second>=0;)
    {
        ans=((ans+mul*path_count(p))%mod+mod)%mod;
        a2=reflect(a1, a2);
        swap(a1, a2);
        p=reflect(a1, p);
        mul*=-1;
    }
    cout<<ans;
}