题解：CF1995C Squaring

题意

给定序列 $a$，每次操作可以使 $a_i\leftarrow a_i^2$，求使 $a$ 不降的最少操作次数。

分析

因为 $1^k=1$，所以无解的情况只有 $\mathrm{\exists }{a}_i=1$ 且 $\mathrm{\exists }j\in [1,i),a_j>1$。

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在有解的情况下，假设对 $a_{i-1}$ 操作 $k_{i-1}$ 次，对 $a_i$ 操作 $k_i$ 次。

此时 $a_{i-1}\leftarrow a_{i-1}^{2^{k_{i-1}}}$，$a_i\leftarrow a_i^{2^{k_i}}$。

因为单调不降，且序列中所有元素均为正数，所以满足：

$$\begin{array}{rl}{a}_{i-1}^{2^{k_{i-1}}}& \le a_i^{2^{k_i}}\\ {\log }_2{a}_{i-1}^{2^{k_{i-1}}}& \le {\log }_2{a}_i^{2^{k_i}}\\ 2^{k_{i-1}}{\log }_2{a}_{i-1}& \le 2^{k_i}{\log }_2{a}_i\\ {\log }_2(2^{k_{i-1}}{\log }_2{a}_{i-1})& \le {\log }_2(2^{k_i}{\log }_2{a}_i)\\ k_{i-1}+{\log }_2{\log }_2{a}_{i-1}& \le k_i+{\log }_2{\log }_2{a}_i\\ k_{i-1}+{\log }_2{\log }_2{a}_{i-1}-{\log }_2{\log }_2{a}_i& \le k_i\end{array}$$

所以 $k_i$ 的最小取值为 $\lceil k_{i-1}+{\log }_2{\log }_2{a}_{i-1}-{\log }_2{\log }_2{a}_i\rceil$。

注意 $k_i$ 不能取负数，所以 $k_i\leftarrow max(k_i,0)$。

显然第一位不操作，故 $k_1=0$。

逐项处理即可。

答案就是 $\sum k_i$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 200005
#define eps 1e-8
 
int a[maxn];
 
void solve()
{
    int64_t n, ans=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int la=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==1&&a[i-1]!=1) return cout<<-1<<'\n', void();
        la=max((int)ceil(la+log2(log2(a[i-1]))-log2(log2(a[i]))-eps), 0);
        ans+=la;
    }
    cout<<ans<<'\n';
}
 
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--) solve();
}