高等数学,同济第八版上册

1x(x6+1)dx=1xx5x6+1dx=ln|x|16ln(x6+1)+C

p. 27
定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|xx0|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式

|f(x)A|<ε

那么常数A就叫做函数f(x)xx0时的极限,记作

limxx0f(x)=Af(x)A(xx0)

p. 42
定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义,若limxx0g(x)=u0limuu0f(u)=A,且存在δ0>0,当xU˚(x0,δ0)时,有g(x)u0,则

limxx0f[g(x)]=limuu0f(u)=A

我觉得“存在δ0>0,当xU˚(x0,δ0)时,有g(x)u0”没有必要。因为就算在U˚(x0,δ0)g(x)=u0……不行,如果g(x)=u0,那么极限limuu0f(u)就不存在了。

问题:如果函数f(x)只在x=0处有定义,那么limx0f(x)=?答案:这时极限不存在。

p. 60
定理3 设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,U˚(x0)Dfg。若limxx0g(x)=u0,而函数y=f(u)u=u0连续,则

(9–1)limxx0f[g(x)]=limuu0f(u)=f(u0)

罗尔定理推拉格朗日中值定理

f(x)在闭区间[a,b]连续,在开区间(a,b)可导。定义g(x)=f(x)f(b)f(a)ba(xa),那么g(b)=f(b)(f(b)f(a))=f(a)=g(a)。根据罗尔定理,存在ξ(a,b),使得g(ξ)=0。注意g(x)=f(x)f(b)f(a)ba,所以f(ξ)f(b)f(a)ba=0,也就是拉格朗日中值定理的结论:f(ξ)=f(b)f(a)ba

问题

如何定义泰勒展开f(x)a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n,使误差项可估计?答案:拉格朗日余项。

posted @   王子睿  阅读(154)  评论(0编辑  收藏  举报
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