高等数学，同济第八版上册

\[\begin{align*} &\int\frac1{x(x^6+1)}\text dx\\ &=\int\frac1x-\frac{x^5}{x^6+1}\text dx\\ &=\ln|x|-\frac16\ln(x^6+1)+C \end{align*}\]

p. 27
定义1 设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义。如果存在常数\(A\)，对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正数\(\delta\)，使得当\(x\)满足不等式\(0<|x-x_0|<\delta\)时，对应的函数值\(f(x)\)都满足不等式

\[|f(x)-A|<\varepsilon， \]

那么常数\(A\)就叫做函数\(f(x)\)当\(x\to x_0\)时的极限，记作

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=A\quad或\quad f(x)\to A(当x\to x_0)。 \]

p. 42
定理6（复合函数的极限运算法则） 设函数\(y=f[g(x)]\)是由函数\(u=g(x)\)与函数\(y=f(u)\)复合而成，\(f[g(x)]\)在点\(x_0\)的某去心邻域内有定义，若\(\lim_{x\to x_0}g(x)=u_0\)，\(\lim_{u\to u_0}f(u)=A\)，且存在\(\delta_0>0\)，当\(x\in\mathring U(x_0,\delta_0)\)时，有\(g(x)\ne u_0\)，则

\[\lim_{x\to x_0}f[g(x)]=\lim_{u\to u_0}f(u)=A。 \]

我觉得“存在\(\delta_0>0\)，当\(x\in\mathring U(x_0,\delta_0)\)时，有\(g(x)\ne u_0\)”没有必要。因为就算在\(\mathring U(x_0,\delta_0)\)中\(g(x)=u_0\)……不行，如果\(g(x)=u_0\)，那么极限\(\lim_{u\to u_0}f(u)\)就不存在了。

问题：如果函数\(f(x)\)只在\(x=0\)处有定义，那么\(\lim_{x\to0}f(x)=多少\)？答案：这时极限不存在。

p. 60
定理3 设函数\(y=f[g(x)]\)由函数\(u=g(x)\)与函数\(y=f(u)\)复合而成，\(\mathring U(x_0)\subset D_{f\circ g}\)。若\(\lim_{x\to x_0}g(x)=u_0\)，而函数\(y=f(u)\)在\(u=u_0\)连续，则

\[\lim_{x\to x_0}f[g(x)]=\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)。\tag{9–1} \]

罗尔定理推拉格朗日中值定理

设\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)连续，在开区间\((a,b)\)可导。定义\(g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(x-a)\)，那么\(g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)=g(a)\)。根据罗尔定理，存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(g’(\xi)=0\)。注意\(g’(x)=f’(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，所以\(f’(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\)，也就是拉格朗日中值定理的结论：\(f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

问题

如何定义泰勒展开\(f(x)\approx a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n\)，使误差项可估计？答案：拉格朗日余项。