p. 27 定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x−x0|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限,记作
p. 42 定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义,若limx→x0g(x)=u0,limu→u0f(u)=A,且存在δ0>0,当x∈U˚(x0,δ0)时,有g(x)≠u0,则
我觉得“存在δ0>0,当x∈U˚(x0,δ0)时,有g(x)≠u0”没有必要。因为就算在U˚(x0,δ0)中g(x)=u0……不行,如果g(x)=u0,那么极限limu→u0f(u)就不存在了。
问题:如果函数f(x)只在x=0处有定义,那么多少多少limx→0f(x)=多少?答案:这时极限不存在。
p. 60 定理3 设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成,U˚(x0)⊂Df∘g。若limx→x0g(x)=u0,而函数y=f(u)在u=u0连续,则
设f(x)在闭区间[a,b]连续,在开区间(a,b)可导。定义g(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a⋅(x−a),那么g(b)=f(b)−(f(b)−f(a))=f(a)=g(a)。根据罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得g′(ξ)=0。注意g′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a,所以f′(ξ)−f(b)−f(a)b−a=0,也就是拉格朗日中值定理的结论:f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a。
如何定义泰勒展开f(x)≈a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n,使误差项可估计?答案:拉格朗日余项。
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