Givens变换

摘抄自《数值线性代数(徐树方)》

Givens变换是一种将n维向量x在第(i，k)两个维度确定的坐标平面内进行旋转（从而将其中一个分量化0）的变换，因此它又叫平面旋转变换。

与Householder变换将一个向量中的若干个分量化0相比，Givens变换将向量的其中一个分量化0。

本篇先介绍Givens变换的定义及其性质，再推导一种用于求Givens变换的数值化方法

一、Givens变换的定义及性质

 定义：Givens变换有以下形式：

 

 

        公式1

 

 

 

 

其中：c=cosθ，s=sinθ ，易证G(i,k,θ)是一个正交矩阵。

公式1看起来有些复杂，但其实可以注意到G(i,k,θ)的构成十分简单：将n×n的单位矩阵I在(i,i),(i,k),(k,i),(k,k)位置的元素替换成c，s，-s，c，从数值上看，G(i,k,θ)x的结果y为

$$\left\{ \begin{array}{l} {y_i} = c{x_i} + s{x_k}\\ {y_k} = - s{x_i} + c{x_k}\\ {y_j} = {x_j},j \ne i,k \end{array} \right.$$

从几何上看，G(i,k,θ)的效果实际上是将向量x沿k→i的角度旋转了θ角度。

若要y_k=0，只需取：

$c = \frac{{{x_i}}}{{\sqrt {x_i^2 + x_k^2} }},s = \frac{{{x_k}}}{{\sqrt {x_i^2 + x_k^2} }}$  公式2

为了避免溢出，实际上并不是按照公式2计算c和s，而是按照以下公式：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} c&s\\ { - s}&c \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} a\\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} r\\ 0 \end{array} \right]$$

二、用于计算Givens变换的算法