定点数表示方法——原码,补码,反码,移码

1. 真值和机器数

    真值:数的实际值,用正负号和绝对值的某进制形式来表示,如+1010,-12,-FFFF等.

    机器数:真值在计算机中的二进制表示,特点是符号数字化且数的大小受机器字长限制,其表示形式有原码,补码,反码,移码等.

2. 原码.

    1). 定点小数:

$${x_{[{\rm{原}}]}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x,0 \le x < 1}\\ {{2^0} - x = {2^0} + \left| x \right|, - 1 < x \le 0} \end{array}} \right.$$

    (其中x[原]是机器数,x是真值,最高位为符号位,下同.)

    表示范围:

$$\max = 1 - {2^{ - n}},\min = - (1 - {2^{ - n}})$$

    (n是指x除符号位的位数,下同)

    如: x=+0.1011, x[原]=0.1011

　　　 x=-0.1011, x[原]=1.1011

    2). 定点整数:

$${x_{[原]}} = \left\{ \begin{array}{l} x,0 \le x < {2^{\rm{n}}}\\ {2^n} - x = {2^n} + |x|, - {2^n} < x \le 0 \end{array} \right.$$

    表示范围:

$$\max  = {2^n} - 1,\min  =  - ({2^n} - 1)$$

    如:x=+1011,x[原]=01011

        x=-1011,x[原]=11011

    3). 特点:

    原码实质上为符号位加上数的绝对值,0正1负;

    原码零有两个编码,+0和 -0编码不同,表示不唯一;

    原码加减运算复杂,乘除运算规则简单;

    原码表示简单,易于同真值之间进行转换.

3. 补码

    1). 定点小数:

$${x_{[补]}} = \left\{ \begin{array}{l} x,0 \le x < 1\\ 2 + x = 2 - |x|, - 1 \le x \le 0 \end{array} \right.(\bmod 2)$$

    表示范围:

$$\max  = 1 - {2^{ - n}},\min  =  - 1$$

    如:x=+0.1011,  x[补]=0.1011

        x=-0.1011, x[补]=10+x=10.0000-0.1011=1.0101

    2). 定点整数:

$${x_{[补]}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x,0 \le x < {2^{\rm{n}}},0 \le x < {2^n}}\\ {{2^{n + 1}} + x = {2^{n + 1}} - |x|, - {2^n} \le x \le 0} \end{array}(\bmod {2^{n + 1}})} \right.$$

     表示范围:

$$\max  = {2^n} - 1,\min  =  - {2^n}$$

    如:x=+1011,x[补]=01011

        x=-1011, x[补]=2^5 – |-1011|=100000 – 1011=10101

    3). 特点

    负数补码实质上为原码除符号位按位取反再加1

    补码最高一位为符号位,0正1负;

    补码零有唯一编码;

    补码能很好用于加减运算;

    补码满足x[补]+(-x)[补]=0;

    补码最大的优点在于能够将减法运算转换成加法运算,其中符号位参与运算,它满足:

$$\begin{array}{*{20}{l}} {{{(x{\rm{ }} + {\rm{ }}y)}_{\left[ 补 \right]}} = {\rm{ }}{x_{\left[ 补 \right]}} + {\rm{ }}{y_{\left[ 补 \right]}}}\\ {{{(x{\rm{ }} - {\rm{ }}y)}_{\left[ 补 \right]}} = {\rm{ }}{x_{\left[ 补 \right]}} + {\rm{ (}} - y{)_{\left[ 补 \right]}}} \end{array}$$

    例如:

$$\begin{array}{l} x = {11_{[10]}} = {1011_{[2]}},y = {5_{[10]}} = {0101_{[2],}}\\ {(x - y)_{[补]}} = {x_{[补]}} + {( - y)_{[补]}} = 01011 + 11011 = 100110(溢出) = 00110 = {6_{[10]}} = x - y\;\; \end{array}$$

    4). 补码和原码转换.

    正数:x[补]=x[原]

    负数:按位取反,末位加1(符号位除外)

    如:x= -1001001, x[原]=11001001,x[补]=10110110+1=10110111

    5). 补码和真值的转换

$${\rm{补码}}\left\{ \begin{array}{l} {\rm{符号 = }}0{\rm{ - 正}},{\rm{余下为数值部分}}\\ {\rm{符号 = }}1{\rm{ - 负}},{\rm{余下求补为数值部分}} \end{array} \right.$$

4. 反码

    1). 定点小数

$${x_{[{\rm{反}}]}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x,0 \le x < 1}\\ {(2 - {2^{ - n}}) + x = 2 + x - {2^{ - n}}, - 1 < x \le 0} \end{array}} \right.$$

    范围:

$$\max = 1 - {2^{ - n}},\min = - (1 - {2^{ - n}})$$

    如:x=0.1011,x[反]=0.1011

        x=-0.1011,x[反]=1.0100

    2). 定点整数

$${x_{[{\rm{反}}]}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x,0 \le x < {2^{\rm{n}}}}\\ {({2^{n + 1}} - 1) + x = {2^{n + 1}} + x - 1, - {2^n} < x \le 0} \end{array}} \right.$$

    范围:

$$\max  = {2^n} - 1,\min  =  - ({2^n} - 1)$$

    如:x=1011,x[反]=01011

        x=-1011,x[反]=10100

    3). 特点

   负数反码实质上为原码除符号按位求反,也就是补码-1;

   反码零有两个编码,+0 和 -0 的编码不同;

   反码难以用于加减运算;

   反码的表示范围与原码相同.

5. 移码:用于表示浮点数的阶码

    1). 定义

$$x[移] = {2^n} + x, - {2^n} \le x < {2^n}$$

   范围:

$$\max  = {2^{n + 1}} - 1,\min  = 0$$

    如:x=+1011,x[移]=11011

        x=-1011,x[移]=00101

    2). 特点

    移码中符号位表示的规律与原码,补码,反码相反——"1"正"0"负;

    移码为全0时所对应的真值最小,为全1时所对应的真值最大,移码的大小直观地反映了真值的大小,这有助于两个浮点数进行大小比较;

    真值0在移码中的表示形式是唯一的;

    移码把真值映射到一个正数域,所以可将移码视为无符号数,直接按无符号数规则比较大小;

    同一数值的移码和补码除最高位相反外,其他各位相同.

    3). 移码和补码转换

$$\begin{array}{l} {x_{[补]}} = \left\{ \begin{array}{l} x,0 \le x < {2^n}\\ {2^{n + 1}} + x, - {2^n} \le x \le 0 \end{array} \right.\\ {x_{[移]}} = {2^n} + x, - {2^n} \le x < {2^n}\\ {x_{[移]}} = \left\{ \begin{array}{l} {x_{[补]}} + {2^n},0 \le x < {2^n}\\ {x_{[补]}} + {2^n} - {2^{n + 1}} = {x_{[补]}} - {2^n}, - {2^n} \le x \le 0 \end{array} \right. \end{array}$$