XJOI1105模拟赛 积木游戏

orz duck！

Description

在一个 \(n\) 行 \(m\) 列的矩阵里放积木。要求：一块积木只能放在一行，一行中相邻的积木中间至少有一个间隔，第一行至少有一块积木，第 \(n\) 行积木长度为 \(m\)。求所有满足条件的方案的积木数平方和。

Solution

注意到原题范围 \(n,m\leq 5\times 10^3\) 太小了，考虑加强 \(\rightarrow~n,m\leq 10^{18}\)。

首先把这个第一行至少有一块积木的限制去掉，记 \(f_n\) 表示最高积木高度小于等于 \(n\) 的积木数平方和，则答案即为 \(f_n - f_{n-1}\)。

对于一个积木的高度序列 \(\{a_m\}\)，很容易求出它有多少块积木，即 \(\sum\max\{a_i-a_{i-1},0\}\)。注意到显然去掉这个约束以后，对于每种积木的高度序列是等概率出现的，考虑把数数转化为概率，最后乘上一个总方案数即可，具体地：

\[f_n = n^m\operatorname E\left(\left(\sum\max\{a_i-a_{i-1},0\}\right)^2\right) \]

把那个 \(\max\) 拆开，得到：

\[f_n = n^m\operatorname E\left(\sum_i\sum_j\max\{a_i-a_{i-1},0\}\max\{a_j-a_{j-1},0\}\right) \]

然后分类讨论 \(i,j\) 的情况，分 \(i=j\)，\(|i-j|=1\)，\(|i-j|>1\) 讨论，其中 \(i=1\) 或 \(j=1\) 还要进一步讨论。

注意到每种情况都是一个关于 \(n\) 的低次多项式，可以使用拉格朗日插值减少计算。

Code

（整数类模板省略）

const int MOD = 998244353;

inline Z suan1(Z N) { return N * 166374059 + N * N * 499122177 + (N ^ 3) * 332748118; }
inline Z suan2(Z N) { return N * N * 415935147 + (N ^ 4) * 582309206; }
inline Z suan3(Z N) { return N * 415935147 + N * N * 707089750 + (N ^ 3) * 582309206 + (N ^ 4) * 291154603; }
inline Z suan4(Z N) { return N * N * 415935147 + (N ^ 3) * 415935147 + (N ^ 4) * 582309206 + (N ^ 5) * 582309206; }
inline Z suan5(Z N) { return N * 432572553 + (N ^ 3) * 707089750 + (N ^ 5) * 856826403; }
inline Z suan6(Z N) { return N * N * 859599304 + (N ^ 4) * 277290098 + (N ^ 6) * 859599304; }

int n, m;

inline Z calc(int n, int m) {
	if (!n) return Z(0);
	if (n == 1) return Z(1);
	Z N(n), M(m), ans = suan1(N) / N;
	if (m > 1) ans += (M - 1) * suan2(N) / (N * N);
	if (m > 1) ans += 2 * suan3(N) / (N * N);
	if (m > 2) ans += 2 * (M - 2) * suan4(N) / (N ^ 3);
	if (m > 2) ans += 2 * (M - 2) * suan5(N) / (N ^ 3);
	if (m > 3) ans += (M - 2) * (M - 3) * suan6(N) / (N ^ 4);
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &m, &n);
	Z ans = calc(n, m) * (Z(n) ^ m) - calc(n - 1, m) * (Z(n - 1) ^ m);
	printf("%d\n", ans.x);
	return 0;
}

事实上如果真的要做 \(n,m\leq 10^{18}\) 这份代码还要作亿点改动（因为大于模数了）但是由于懒就不想管了