UVA11426 GCD - Extreme (II) (欧拉函数/莫比乌斯反演)

UVA11426 GCD - Extreme (II)

题目描述

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Solution

这道题我用莫比乌斯反演和欧拉函数都写了一遍,发现欧拉函数比莫比乌斯反演优秀?

求所有\(gcd=k\)的数对的个数,记作\(f[k],ans=\sum_{i=1}^{n}(f[i]-1)\),为什么还要-1,我们注意到\(j=i+1\),自己与自己是不算的,再乘上这个数的大小\(k\)就可以了

我们发现要求\(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}{gcd(i,j)}\),我们令\(gcd(i,j)=k\),则必有\(gcd(a\times k,b\times k)=k\to gcd(a,b)=1\),我们枚举这两个数中大的那个,另一个数就有\(phi[i](1<=i <=n/k)\)个,所以\(f[n]=\sum_{i=1}^{n/k}\phi(i)\)

筛一下欧拉函数求前缀和就可以了

那么?莫比乌斯反演怎么写呢?
\(ans=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}gcd(i,j)\)
\(ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}gcd(i,j)\)

我么观察这两个式子的区别,一个是从j从1开始,另一个是从i+1开始,这两个式子是具有几何意义的,上面的式子求得是一个三角形的答案(且不包括对角线),下面的是矩形.那么我们用下面的式子-对角线上的答案再除以2就是上面的答案了

(对角线上的答案就是\(gcd(i,i)=i\),所以一个等比数列求和就好了)

下面的式子很好反演,套路套路....

\[\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d] \]

\[\sum_{d=1}^{n}d\sum_{p=1,p|i,p|j}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(p) \lfloor\frac{n}{d\times p}\rfloor\lfloor\frac{n}{d\times p}\rfloor \]

线性筛莫比乌斯函数,然后套个整除分块就好了(还是没有第一种方法快,如果莫比乌斯反演有比博主还快的方法,请告知我)

Code1

#include<bits/stdc++.h>
#define lol long long
#define il inline
#define rg register
#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
#define NN 4000000

using namespace std;

const int N=4e6+10;
int n,tot;
lol phi[N],prime[N];
bool vis[N];

il void init() {
    phi[1]=1;
    for(rg int i=2;i<=NN;i++) {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(rg int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=NN;j++) {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(rg int i=1;i<=NN;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    init();
    while(cin>>n) {
        lol ans=0;
        if(n==0) break;
        for(rg int i=1;i<=n;i++) ans+=1ll*(phi[n/i]-1)*i;
        cout<<ans<<endl;
    }
}

Code2

#include<bits/stdc++.h>
#define in(i) (i=read())
#define il extern inline
#define rg register
#define mid ((l+r)>>1)
#define ll(x) (x<<1)
#define rr(x) (x<<1|1)
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define lol __int128
using namespace std;

const lol N=4e6+10;

lol read() {
    lol ans=0, f=1; char i=getchar();
    while (i<'0' || i>'9') {if(i=='-') f=-1; i=getchar();}
    while (i>='0' && i<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+(i^48), i=getchar();
    return ans*f;
}

lol cnt;
lol vis[N]={0,1},prime[N],mu[N]={0,1};

void init() {
    for (lol i=2;i<=N-10;i++) {
        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for (lol j=1;j<=cnt && prime[j]*i<=N-10;j++) {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }for (lol i=1;i<=N-10;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}

lol work(lol d,lol n,lol ans=0) {
    n/=d;
    for (lol l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r=n/(n/l);
        ans+=(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(n/l);
    }return ans;
}

int main()
{
    long long ans,n; init();
    while(scanf("%lld",&n)==1 && n) {
        ans=0;
        for (lol i=1;i<=n;i++) ans+=i*work(i,n);
        printf("%lld\n",(ans-(n+1)*n/2)/2);
    }
    return 0;
}