SCOI2008奖励关 [状压dp]

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入输出格式

输入格式：

第一行为两个正整数k 和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种

宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各

宝物编号为1到n），以0结尾。

输出格式：

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

输入输出样例

---

输入样例#1：

1 2
1 0
2 0

 

输出样例#1：

1.500000

---

输入样例#2：

6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

输出样例#2：

10.023470

---

说明

1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15，分值为[-106,106]内的整数。

---

题解

这是一道状压dp题，数据范围很小，只有15（很标准啊）

首先，解释一下题意，会有ｋ个宝物掉下，共ｎ种，所以每次每种宝物掉下的概率都是1/ｎ，而题目最后说的最优策略是指这次掉下的宝物，你可以不选，这是因为它的贡献是负数且它对后面的宝物是没用的，平均情况是指每次掉下每种宝物的情况都是1/ｎ，所以我们要将所得的期望得分/ｎ，即

本轮期望＝（上一轮期望+本轮得分）/ｎ

而正向推的话可能会出现从合法情况推到不合法的情况，那么这种情况乱再推也是没用的，所以我们倒着推，保证统计结果时一定合法（听说最优策略的期望dp都是倒着推？？？），那么结果最后就保存在dp[1][0]

设dp[i][j]表示第i轮已经收集的宝物集合j的期望

那么状态转移方程就变成了这样

if(本宝物可以收集)

　　dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|1<<(k-1)]+v[k])/ｎ//v[]表示宝物价值

else

　　dp[i][j]+=dp[i+1][j]/n;

#include<bits/stdc++.h>
#define in(i) (i=read())
using namespace std;
int read()
{
  int ans=0,f=1;
  char i=getchar();
  while(i<'0' || i>'9')
    {
      if(i=='-') f=-1;
      i=getchar();
    }
  while(i>='0' && i<='9')
    {
      ans=(ans<<1)+(ans<<3)+i-'0';
      i=getchar();
    }
  return ans*f;
}
int m,n;
int cur[110];
int v[110];
double dp[110][32768];
int main()
{
  in(m);in(n);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      in(v[i]);
      int u;
      in(u);
      while(u)
    {
      cur[i]|=1<<(u-1);
      in(u);
    }
    }
  int tot=1<<n;
  for(int i=m;i>=1;i--)
    {
      for(int j=0;j<tot;j++)
    {
      for(int k=1;k<=n;k++)
        {
          if((cur[k]&j)==cur[k]) dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|1<<(k-1)]+v[k])/n;
          else dp[i][j]+=dp[i+1][j]/n;
        }
//      dp[i][j]/=n;
    }
    }
  printf("%0.6lf\n",dp[1][0]);
  return 0;
}

 

#include<bits/stdc++.h>
#define in(i) (i=read())
using namespace std;
int read()
{
  int ans=0,f=1;
  char i=getchar();
  while(i<'0' || i>'9')
    {
      if(i=='-') f=-1;
      i=getchar();
    }
  while(i>='0' && i<='9')
    {
      ans=(ans<<1)+(ans<<3)+i-'0';
      i=getchar();
    }
  return ans*f;
}
int m,n;
int cur[110];
int v[110];
double dp[110][32768];
int main()
{
  in(m);in(n);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      in(v[i]);
      int u;
      in(u);
      while(u)
    {
      cur[i]|=1<<(u-1);
      in(u);
    }
    }
  int tot=1<<n;
  for(int i=m;i>=1;i--)
    {
      for(int j=0;j<tot;j++)
    {
      for(int k=1;k<=n;k++)
        {
          if((cur[k]&j)==cur[k]) dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|1<<(k-1)]+v[k])/n;
          else dp[i][j]+=dp[i+1][j]/n;
        }
//      dp[i][j]/=n;
    }
    }
  printf("%0.6lf\n",dp[1][0]);
  return 0;