幺半群同态一个示例的双向分析

全体自然数（含 0）在加法下构成一个幺半群，记作 (N, +)，而全体正整数在乘法下也构成一个幺半群，记作 (Z⁺, ·).

假设映射 f: N→ Z⁺ 满足 

①        ∀ x, y ∈ N,  f(x + y) = f(x)·f(y). 

令 y = 0，代入 ① 有 f(x) = f(x)·f(0)，由此可知 f(0) = 1，即 f 把 (N, +) 中的单位元映到 (Z⁺, ·) 中的单位元. 因此结合 ① 可知 f 是一个幺半群同态.

若 f(1) = k，则由 ① 易知 f(2) = f(1)·f(1) = k²，进一步可知 f(n) = kⁿ，n = 0,1,2,^....

这就说明，从  (N, +) 到 (Z⁺, ·) 并不存在一个幺半群同构. 或者说，存在 (N, +) 到 (Z⁺, ·) 的某个子幺半群的同构映射. 在这种意义下， (N, +) 要比 (Z⁺, ·) “小”.

从  (N, +) 到 (Z⁺, ·) 不存在幺半群同构，直接说明了反方向也不存在幺半群同构. 不妨也具体看一下：

假设映射 g: Z⁺→ N 满足 

②        ∀ x, y ∈ Z⁺,  g(x·y) = g(x) + g(y). 

令 y = 1，代入 ② 有 g(x) = g(x) + g(1)，由此可知 g(1) = 0，即 g 把 (Z⁺, ·) 中的单位元映到 (N, +) 中的单位元. 因此结合 ② 可知 g 是一个幺半群同态.

若 g(2) = k，则 g(2·2) = g(2) + g(2) = 2k，进一步可知 g(2ⁿ) = nk. 若 g(3) = h，类似可得 g(3ⁿ) = nh. 于是会有 g(2^h) = hk = kh = g(3^k). 即 g 不是单射，因此 g 不是一个幺半群同构.