求所有的函数 f: R → R，使得对任意 x, y ∈ R 都有 (x + y)·[f(x) - f(y)] = (x - y)·f(x + y).

求所有的函数 f: R → R，使得对任意 x, y ∈ R 都有 (x + y)·[f(x) - f(y)] = (x - y)·f(x + y).

解：由题设等式变形，即有 (x + y)·[f(x) - f(y)] / (x - y) = f(x + y). 再令 y 趋于 x，就得到

①        2x·f'(x) = f(2x).

由 ① 可知，f(x) 在 R \ {0} 上可导. f(x) 在 x = 0 处是否可导还需另行判别. 令 y = 0，代入题设等式，有

x·[f(x) - f(0)] = x·f(x). 即 x·f(0) = 0. 于是 f(0) = 0. 即极限 lim _x→0 f(2x) / (2x) 是 0 / 0 型不定式，先搁置f(x) 在 x = 0 处是否可导的问题.

令 x = 2u，y = -u，代入题设等式，即有 u·[f(2u) - f(-u)] = 3u·f(u). 即 [f(2u) - f(-u)] = 3f(u). 于是又有

②        f(2x) = 3f(x) + f(-x).

由 ① 和 ②，则有

③         2x·f'(x) = 3f(x) + f(-x).

令 g(x) = [f(x) + f(-x)] / 2，h(x) = [f(x) - f(-x)] / 2，易知 g(x) 是偶函数，h(x) 是奇函数，且 f(x) = g(x) + h(x)，f(-x) = g(x) - h(x).

于是 f'(x) = g'(x) + h'(x)，而  3f(x) + f(-x) =  3g(x) + 3h(x) + g(x) - h(x) = 4g(x) + 2h(x). 代入 ③，化简即有

④        xg'(x) + xh'(x) = 2g(x) + h(x).

由于 g(x) 是偶函数，结合导数的极限定义可知 g'(x) 是奇函数；同样由 h(x) 是奇函数可知 h'(x) 是偶函数. 于是 ④ 中 xg'(x) 和 2g(x) 是偶函数，而 xh'(x) 和 h(x) 是奇函数. 于是由 ④ 变形得到

⑤        xg'(x) - 2g(x) = h(x) - xh'(x).

⑤ 的左边是偶函数，右边是奇函数. 于是就有

⑥        xg'(x) - 2g(x) = 0.

⑦        h(x) - xh'(x) = 0.

⑥ 即为 x·(dg / dx) = 2g，g(x) = 0 显然是该常微分方程的一个解. 当 g(x) 不是 0 常值函数时，有 g^-1dg = 2x^-1dx. 两边求不定积分，即有 ln|g| = 2·ln|x| + C，化简即有 g(x) = C₁x². 把g(x) = 0 这个特解纳进来，C₁ 可为任意实数.

对 ⑦ 作类似处理，可得 h(x) = C₂x. 于是

f(x) = g(x) + h(x) = C₁x² + C₂x. 其中 C₁ 和 C₂ 可为任意实数.

最后回到 f(x) 在 x = 0 处是否可导的问题，由 f(x) 的通解表达式可知，f(x) 在 x = 0 处也是可导的，即 f(x) 在 R 上可导.