求单位圆的任意内接三角形的三条中线之和的最大值.

求单位圆的任意内接三角形的三条中线之和的最大值.

分析与解：如下图所示，三角形 ABC 的外接圆为单位圆. AD、BE、CF 是该三角形的三条中线. 记 BC = a，AC = b，AB = c. 

由中线定理可知：4AD² = 2b² + 2c² - a²， 4BE² = 2a² + 2c² - b²，4CF² = 2a² + 2b² - c². 于是

①        4(AD² + BE² + CF²) = 3(a² + b² + c²).

由均值不等式可知：

②        (AD + BE + CF) / 3 ≤ [(AD² + BE² + CF²) / 3]^1/2.

这里的思路是，求三条中线的平方和的最大值要比求三条中线的和的最大值更容易入手. 若前者取得最大值的条件正好是 ② 取等号的条件（即 AD = BE = CF）. 则后者的最大值也便求出来了.

由 ①，下一步的思路是求 a² + b² + c² 的最大值. 由正弦定理以及三角形 ABC 的外接圆为单位圆，可知

③         a² + b² + c² = sin²A + sin²B + sin²C.

由 cos2A = cos²A - sin²A = 1 - 2sin²A，有 2sin²A = 1 - cos2A. 继而有

④         2(sin²A + sin²B + sin²C) = 3 - (cos2A + cos2B + cos2C).

于是，问题又转化为求 cos2A + cos2B + cos2C 的最小值.

记 U = A + B，V = A - B. 由和差化积公式，有

cos2A + cos2B = cos(U + V) + cos(U - V) = 2cosUcosV.

而 cos2C = cos(2Π - 2C) = cos2U = cos²U - sin²U = 2cos²U - 1. 于是

cos2A + cos2B + cos2C = 2cosUcosV + 2cos²U - 1 = 2cosU(cosV + cosU) - 1.

而 cosV + cosU = cos(A - B) + cos(A + B) = 2cosA·cosB. 且 cosU = cos(A + B) = -cosC. 继而又有

⑤        cos2A + cos2B + cos2C = -4cosA·cosB·cosC - 1.

因此，问题又转化为求 cosA·cosB·cosC 的最大值.

显然当三角形 ABC 分别是钝角三角形、直角三角形时，cosA·cosB·cosC 的取值分别为负数和 0. 因而只有 A，B，C 全为锐角时，cosA·cosB·cosC 才能取到最大值. 此时，由均值不等式有

⑥        cosA·cosB·cosC ≤ [(cosA + cosB + cosC) / 3]³.

令 f(x) = cosx，则 f''(x) = -cosx. 易知 cosx 在 (0, Π/2) 上是凹函数. 于是由 Jensen 不等式可知

⑦        (cosA + cosB + cosC) / 3 ≤ cos[(A + B + C) / 3] = cos(Π/3) = 1/2.

⑦ 取等号当且仅当 A = B = C = Π/3，即 三角形 ABC 为正三角形时，cosA + cosB + cosC 取到最大值 3/2.

由 ⑥ 、⑤、④ 、③、① 逐级往上返可知，此时 AD² + BE² + CF² 取到最大值 3/4.

再由 ② 可知，AD + BE + CF 在 A = B = C 时 取得最大值 9/2.