对一道级数乘积例题的求解分析

Ayumu 的数学分析第 77讲里有一道如下的例题：

讲义中有不少笔误（比如截图中红框部分应该是 y^2j+1），讲解部分一些细节感觉也没有说清楚. 经过一番思考，发现可以这样证明：

记截图中蓝框部分的和式为 U_n，绿框部分的和式为 -V_n，显然 V_n 中可提到和式前面的系数是 (-1)ⁿ⁺¹，于是

C(x)C(y) - S(x)S(y) = Σ_n=0..∞ U_n + Σ_n=0..∞ V_n.

容易验证：

①             U_n + V_n-1 = (-1)ⁿ(x+y)²ⁿ / (2n)! (n = 1, 2, ...)

②             U₀ = (-1)⁰(x+y)⁰ / 0!

因此，结合 ① 和 ② 就有

C(x)C(y) - S(x)S(y) = U₀ + Σ_n=1..∞ (U_n + V_n-1) = Σ_n=0..∞ [(-1)ⁿ(x+y)²ⁿ / (2n)!] = C(x+y).