关于实数列上下极限一个定理的注解分析

Ayumu 的数学分析第 18 课讲到如下一个定理：

这个定理没有什么问题. 但是随后的注解部分是有问题的，摘录如下：

在注解的扩展定义中，E 可以涵盖上极限是 -∞ 的情形，但不能涵盖上极限是 +∞ 的情形；同样，F 可以涵盖下极限是 +∞ 的情形，但不能涵盖下极限是 -∞ 的情形. 具体看几个例子.

例 1：数列 {a_n}，其中 a_n = -n.

 {a_n} 的极限点只有一个，即 -∞. 由上下极限的定义有

lim sup_n→∞ a_n = -∞，lim inf_n→∞ a_n = -∞.

由上述扩展的定义，E = {-∞}，F = ∅.

lim sup_n→∞ a_n = inf E 是满足的，但 lim inf_n→∞ a_n = sup F 显然是有问题的，因为此时 F 不是良定义的.

例 2：数列 {b_n}，其中 b_n = (-1)ⁿn.

 {b_n} 的极限点有两个，即 -∞ 和 +∞. 由上下极限的定义有

lim sup_n→∞ a_n = +∞，lim inf_n→∞ a_n = -∞.

但由上述扩展的定义，E = F = ∅. 此时 E 和 F 都不是良定义的，im sup_n→∞ a_n = inf E 和 lim inf_n→∞ a_n = sup F 均不满足.