p 群是可解群的完整证明

一些相关定义和性质

p 群：G 是一个有限群，且 |G| = p^m，p 和 m 是正整数且 p 是素数，则称 G 是一个 p 群.

换位子元：G 是一个群. 任取 G 中元素 a 和 b，定义 [a, b] = a^-1b^-1ab，并称之为 a 与 b 的换位子元. 由定义易知：

    [a, a] = e.

    [a, b]^-1 = [b, a].

换位子群：G 是一个群. S 是 G 中元素所能构成的全体换位子元的集合，即 S = {[a, b] : a, b ∈ G}. 定义 [G, G] = <S>，称为 G 的换位子群.

[G, G] 是由 S 生成生成的子群，因此其元素可以用换位子元的（乘法形式的）线性组合来表示，即 [G, G] = {[a₁, b₁]^ε1...[a_n, b_n]^εn : n ∈ N₁, [a_i, b_i] ∈ S, ε_i = ±1}. 由于 [a, b]^-1 = [b, a]，可以进一步简化为：

   ①      [G, G] = {[a₁, b₁]...[a_n, b_n] : n ∈ N₁, a_i, b_i ∈ G}.

换位子群的一些性质：

若 G 是交换群，则 [G, G] = {e}.

证：任取 a, b ∈ G，则 [a, b] = a^-1b^-1ab = [a, b] = a^-1b^-1ba = e，由 ① 可知，[G, G] = {e}.

[G, G] ◁ G.

证：记 G' = [G, G]. 需证 ∀ g ∈ G，有 gG' = G'g，即 g[a₁, b₁]...[a_n, b_n] g^-1 ∈ G'.

考虑 n = 1 的情形，即

g[a, b]g^-1 = ga^-1b^-1abg^-1 = ga^-1g^-1gb^-1g^-1gag^-1gbg^-1 = [gag^-1, gbg^-1] ∈ G'.

同样地，g[a₁, b₁]...[a_n, b_n] g^-1 = g[a₁, b₁]g^-1g...g^-1g[a_n, b_n] g^-1 = [ga₁g^-1, gb₁g^-1]...[ga_ng^-1, gb_ng^-1] ∈ G'.

导群：G 是一个群，记 G⁽¹⁾ = G' = [G, G]. 定义 G⁽²⁾ = (G')'，...，G^(k) = (G^(k-1))'. 称 G^(k) 为 G 的 k 次导群.

由 [G, G] ◁ G 易知，... ◁ G^(k) ◁ ... G⁽²⁾ ◁ G⁽¹⁾ ◁ G.

可解群：G 是一个群，若存在 n ∈ N₁，使得 G⁽ⁿ⁾ = {e}. 则称 G 为可解群. 

p 群是可解群的完整证明

先证明一个引理：

G 是一个群，C 是 G 的中心，则对任意 m ∈ N₁，有 (G/C)^(m) = {gC : g ∈ G^(m)} = G^(m)C.

证明：对 m 做数学归纳法. 若 m = 1，则

(G/C)⁽¹⁾ = [G/C, G/C]

= {[a₁C, b₁C]...[a_nC, b_nC] : n ∈ N₁, a_i, b_i ∈ G} 

= {[a₁, b₁]...[a_n, b_n]C : n ∈ N₁, a_i, b_i ∈ G}

= {gC : g ∈ G⁽¹⁾} = G⁽¹⁾C. 命题成立.

假设 m = k 时命题成立，即有 (G/C)^(k) = {gC : g ∈ G^(k)} = G^(k)C. 考虑 m = k+1 的情形，则有：

(G/C)^(k+1) = [G/C)^(k), G/C)^(k)] = [G^(k)C, G^(k)C]

= {[u₁C, v₁C]...[u_nC, v_nC] : n ∈ N₁, u_i, v_i ∈ G^(k)} 

= {[u₁, v₁]...[u_n, v_n]C : n ∈ N₁, u_i, v_i ∈ G^(k)}

= {gC : g ∈ G^(k+1)} = G^(k+1)C. 

综上，命题成立.

若 G 是一个 p 群，则 G 是可解群.

证明：|G| = p^m，对 m 做数学归纳法. 若 m = 1，即 |G| = p，由 p 为素数可知 G 为循环群，因此 G 是交换群，于是 G⁽¹⁾ = [G, G] = {e}. G 是可解群.

假设 m ＜ k 时命题成立. 考虑 m = k 的情形. 记 G 的中心为 C，由 p 群的性质有 p | |C|，且有 C ◁ G，由拉格朗日定理有 |C| = p^j，|G/C| = p^k-j，1 ≤ j ≤ k.

若 j = k，则 G = C，G 是交换群，显然是可解群.

若 j < k，则 商群 G/C 也是 p 群，且 0 < k-j < k，由归纳假设可知，G/C 是可解群. 即存在 n ∈ N₁，使得 (G/C)⁽ⁿ⁾ = {C}. 这里 C 是商群 G/C 的单位元. 由引理有 (G/C)⁽ⁿ⁾ = G⁽ⁿ⁾C = {gC : g ∈ G⁽ⁿ⁾} = {C}. 于是有  G⁽ⁿ⁾ ⊂ C，即 G⁽ⁿ⁾ 是交换群 C 的子群，自然也是交换群，于是 G⁽ⁿ⁺¹⁾ = {e}. 即 G 是可解群.

综上，命题成立.