Rudin 数学分析原理开篇的例子（平方小于 2 的正有理数构成的集合没有最大值）分析

令 A = {p > 0: p ∈ Q, p² < 2}，则 A 中没有最大的数.

这个命题节选自 Walter Rudin 在他的 《数学分析原理》一书开篇的例子. 证明思路就是任取 p ∈ A，总能找到 q ∈ A 满足 q > p.

Rudin 的证明是直接给出 q = p + (2 - p²) / (p + 2)，显然 q > p. 进一步验证可知 q² < 2. 这样就证完了.

今天看 Ayumu 讲数学分析（I） 的第一个视频：无理数的历史，很巧合他也讲到了这一块，而且他坦言证明是照搬自 Rudin 的书. 但是就有人问起的 q 是如何构造出来的问题，他回答说在后面学了拉格朗日中值定理就知道怎么构造了.

关于 q 的构造，我以前看 Rudin 的书的时候也思考过，发现用初等方法可以很自然地构造出来，记到了一个本子里. 翻出来放在这里：

简单复述一下：

对任意 p ∈ A，试图找一个足够小的正有理数 r，使得 (p + r)² < 2. 那么 q = p + r 就满足 q > p 以及 q ∈ A. 显然 (p + r)² < 2 等价于

①   2pr + r² < 2 - p².

r 是正有理数，所以存在两个正有理数 w, x 使得 r = w / x. 在 ① 中，2 - p² 是正有理数，为方便起见，令 w = 2 - p²（但只要 x 取值够大，依然可以确保 r 足够小），这样 ① 的两端可以同除以 2 - p²，继而等价于 2px + 2 - p² < x²，进一步整理即有

2 < (x - p)².

显然取 x =  p + 2，就有 2 < (p + 2 - p)² = 4.