对交换环的局部化的相关分析
定义一般形式的分数集合以及其上的加法和乘法运算得到的结构 (F, +, ·)
(R, +, ·) 是一个交换环，S 是 R 的一个乘法子集（即 S 是 R \ {0} 的乘法子幺半群），定义集合 F = {r / s: r ∈ R, s ∈ S}，即 F 是全体形如 r / s 的分数的集合，其中分子 r ∈ R，分母 s ∈ S. 仿照常规分数的加法和乘法在 F 上定义加法 + 和乘法 ·，即对任意 r1, r2 ∈ R 和任意 s1, s2 ∈ R，有：
① (r1 / s1) + (r2 / s2) = (r1s2 + r2s1) / (s1s2).
② (r1 / s1) · (r2 / s2) = (r1r2) / (s1s2).
那么， (F, +, ·) 是否会构成一个交换环呢？
由 ① 易知 r / s + 0 / 1 = r / s 以及 0 / 1 + r / s = r / s 成立，故 0 / 1 是 F 的加法单位元.
由 ② 易知 (r / s) · (1 / 1) = r / s 以及 (1 / 1) · (r / s) = r / s 成立，故 1 / 1 是 F 的乘法单位元.
记 r / s 的加法逆元为 r' / s'，则应有 r / s + r' / s' = (rs' + r's) / (ss') = 0 / 1，即有 rs' + r's = 0 以及 ss' = 1.
满足 rs' + r's = 0 并不难做到（比如取 r' = -r，s' = s）；但要满足 ss' = 1，要求就相当苛刻了——它至少要求 S 是 R \ {0} 的乘法子群. 以 R = 整数环 Z 为例，为使 S 是 Z \ {0} 的乘法子群，只有两种可能，即 S = {1} 或 S = {1, -1}.
因此，一般来说，由上面的定义 (F, +, ·) 并不能构成一个环，更别说构成交换环.
进一步考察 (F, +, ·) 具有怎样的结构：
由 ① 易知，F 在加法下是封闭的，且满足交换律（由 R 满足加法交换律决定）；同样，由 ② 易知，F 在乘法下也是封闭的，且满足交换律（由 R 满足乘法交换律决定）.
若 r1 / s1 ∈ F，r2 / s2 ∈ F，r3 / s3 ∈ F，则
(r1 / s1 + r2 / s2) + r3 / s3 = (r1s2 + r2s1) / (s1s2) + r3 / s3 = (r1s2s3 + r2s1s3 + r3s1s2) / (s1s2s3)
r1 / s1 + (r2 / s2 + r3 / s3) = r1 / s1 + (r2s3 + r3s2) / (s2s3) = (r1s2s3 + r2s1s3 + r3s1s2) / (s1s2s3)
即 F 满足加法结合律. 同样地，可验证 F 满足乘法结合律. 因此，综上可知，F 在加法下和乘法下都构成交换幺半群.
进一步还可验证 F 的乘法对加法还满足左右分配律. 阻止 F 未能构成交换环的原因只是因为 F 在加法逆元上不满足封闭性.
定义 (F, +, ·) 中元素的等价关系 ~
由整数引入分数（即有理数）时，我们有 m1 / n1 = m2 / n2 ⇔ m1 · n2 = m2 · n1，即我们把 1/2、2/4、3/6、... 视作同一个有理数. 在有理数域 Q 中，一个既约分数 r / s 实际上对应了一个等价类集合，记为 [r / s]，即有 [r / s] = {kr / (ks): r ∈ Z, s ∈ Z \ {0}, k ∈ Z \ {0}, gcd(r, s) = 1}，而 Q = {[r / s]: r ∈ Z, s ∈ Z \ {0}, gcd(r, s) = 1}，这样才使得 (Q, +, ·) 得以构成一个域.
仿效有理数的等价关系，定义 (F, +, ·) 中元素的关系 ~，如下：
令 r / s ∈ F，r' / s' ∈ F，若 rs' = r's，则称 r / s ~ r' / s'.
~ 需要验证满足自反性、对称性和传递性，才能称之为等价关系：
(1) 由 rs = rs 有 r /s ~ r / s，自反性显然满足；
(2) 若 r / s ~ r' / s'，则有 rs' = r's，即有 r's = rs'，于是 r' / s' ~ r / s，对称性显然也满足；
(3) 若 r / s ~ r' / s'，r' / s' ~ r'' / s''，传递性需证明 r / s ~ r'' / s''，即 rs'' = r''s.
由 r / s ~ r' / s'，有 rs' = r's，两边同乘 s''，并由 (R, ·) 满足交换性，有 rs''s' = r'ss''
由 r' / s' ~ r'' / s''，有r's'' = r''s'，两边同乘 s，并由 (R, ·) 满足交换性，有 r'ss'' = r''ss'
于是 rs''s' = r''ss'，即 s'(rs'' - r''s) = 0，但这并不能推出 rs'' = r''s【这是因为 R 是交换环，s' 和 rs'' - r''s 可能是非平凡零因子】.
因此，上面定义的 ~ 并不是一个等价关系，重新定义 (F, +, ·) 中元素的关系 ~，如下：
令 r / s ∈ F，r' / s' ∈ F，若存在 t ∈ S，使得 t(rs' - r's) = 0，则称 r / s ~ r' / s'.
来看一下这个新定义的关系是否构成一个等价关系：
(1) 自反性：1 ∈ S，且 1·(rs - rs) = 1·0 = 0，显然有 r /s ~ r / s；
(2) 对称性：若 r / s ~ r' / s'，则存在 t ∈ S，使得 t(rs' - r's) = 0. r's - rs' 是 rs' - r's 在 R 中的加法逆元，于是 t(r's - rs') = -t(rs' - r's) = -0 = 0，即 r' / s' ~ r / s；
(3) 传递性：若 r / s ~ r' / s'，r' / s' ~ r'' / s''，需要证明 r / s ~ r'' / s''，即存在 t'' ∈ S，使得 t''(rs'' - r''s) = 0.
由 r / s ~ r' / s'，存在 t ∈ S，使得 t(rs' - r's) = 0. 两边同乘 t's''，有 tt'(rs''s' - r's''s) = 0.
由 r' / s' ~ r'' / s''，存在 t' ∈ S，使得 t'(r's'' - r''s') = 0. 两边同乘 ts，有 tt'(r's''s - r''ss') = 0.
于是 tt'(rs''s' - r's''s) + tt'(r's''s - r''ss') = 0 + 0 = 0，即
tt'(rs''s' - r''ss') = tt's'(rs'' - r''s) = 0，tt's' ∈ S，取 t'' = tt's'，即有 t''(rs'' - r''s) = 0.
综上，新定义的关系的确是一个等价关系.
等价关系 ~ 对 (F, +, ·) 的划分
由上面定义的等价关系 ~ 可以把 F 的全体元素划分成若干（有限或无限）个等价类.
一般地，若 r / s ∈ F，则定义 [r / s] = {u / v: u / v ~ r / s}.
由这个定义易知，若 r / s ~ r' / s'，则 [r / s] = [r' / s']. 即 F 中等价的两个元素同属一个等价类.
定义 F/~ = {[r / s]: r ∈ R, s ∈ S}，即 F/~ 是以 F 在等价关系 ~ 下划分的全体等价类（陪集）为构成元素的集合.
特别地，记 H = [0 / 1] = {u / v: u / v ~ 0 / 1}；并对 f ∈ F，记 f + H = {f + h: h ∈ H}.
具体看一下 H 中都有哪些元素. u / v ~ 0 / 1 即存在 t ∈ S，使得 t(u·1 - v·0) = tu = 0.
当 u = 0 时对任意 t ∈ S 都有 tu = 0，因此有 H ⊃ {0 / v: v ∈ S}，即 H 中包含了 F 中全体形如 0 / v 的元素.
另外，若 p 是 R 中的非平凡零因子，且存在 t ∈ S 使得 tp = 0，则全体形如 p / v 的元素也都在 H 中，即 H ⊃ {p / v: v ∈ S}.
综合起来，就是 H = {u / v: u ∈ R, v ∈ S;ョt ∈ S, tu = 0}.
接下来尝试证明：[r / s] = r / s + H.
任取 u / v ∈ H，由定义可知 ョt ∈ S，使得 tu = 0.
r / s + u / v = (rv + us) / (sv). 而 (rv + us) / (sv) ~ r / s 等价于 ョt' ∈ S，使得 t'(rvs + uss - rsv) = t'uss = 0.
取 t' = t，则 t'uss =tuss = 0·ss = 0. 因此，r / s + u / v ∈ [r / s]. 这就证明了 r / s + H ⊂ [r / s].
任取 r' / s' ∈ [r / s]，即有 r' / s' ~ r / s，现在要证明 r' / s' ∈ r / s + H，即存在 u / v ∈ H，使得 r / s + u / v = (rv + us) / (sv) = r' / s'.
即有 rv + us = r' 以及 sv = s'. 从直觉看，这是做不到的. 转而寻求反例：
考虑 R = Z，S = Z \ {0}，因为 Z 是整环，故 H = {0 / v: v ∈ S}.
[1 / 2] = [2 / 4] = {k / 2k: k ∈ S}，但 2 / 4 + H = {2v / 4v: v ∈ S}，因而 1 / 2、3 / 6 等元素属于 [2 / 4] 但不属于 2 / 4 + H.
综上， [r / s] ≠ r / s + H，仅有 r / s + H ⊂ [r / s].
这说明，F/~ 不能写成 F/H 的形式. 即 F 不能按 H 的加法陪集做分解. 更明确地说，不能保证对任意的 f1, f2 ∈ F，f1 + H 和 f2 + H 要么相等要么无交（上面的反例中显然有 2 / 4 + H ≠ 1 / 2 + H，且 2 / 4 + H ∩ 1 / 2 + H = 2 / 4 + H）. 这是因为 F 的结构不够好【如上所分析，F 在加法下只构成交换幺半群. H 的结构也不够好，容易验证 H 在加法下也只构成交换幺半群】.
交换环的局部化
上面的分析已经知道 (F, +, ·) 一般而言不构成环，F/~ = {[r / s]: r ∈ R, s ∈ S} 也不能写成 F/H 的形式.
但有意思的是，(F/~, +, ·) 却能构成一个交换环. 这便是交换环 R 对其乘法子集 S 的局部化引出的交换环：
R 是一个交换环，S 是 R 的一个乘法子集，则 R 对 S 的局部化定义为
S-1R = {r / s: r ∈ R, s ∈ S}/~，其中 r / s ~ r' / s' 定义为 ョt ∈ S，使得 t(rs' - r's) = 0.
容易看出，这里定义的 S-1R 实际就是 F/~，即 S-1R = F/~.
定义 S-1R 上的加法和乘法：若 [r1 / s1], [r2 / s2] ∈ S-1R，则定义
[r1 / s1] + [r2 / s2] = [(r1s2 + r2s1) / (s1s2)] 以及 [r1 / s1] · [r2 / s2] = [(r1r2) / (s1s2)].
S-1R 上加法和乘法的良定义性证明：
假设 r1 / s1 ~ r'1 / s'1，r2 / s2 ~ r'2 / s'2. 即存在 t, t' ∈ S，使得
③ t(r1s'1 - r'1s1) = 0.
④ t'(r2s'2 - r'2s2) = 0.
加法良定义需证 (r1s2 + r2s1) / (s1s2) ~ (r'1s'2 + r'2s'1) / (s'1s'2). 即需要找到一个 v ∈ S，使得
⑤ v(r1s2s'1s'2 + r2s1s'1s'2 - r'1s'2s1s2 - r'2s'1s1s2) = 0.
乘法良定义需证 (r1r2) / (s1s2) ~ (r'1r'2) / (s'1s'2). 即需要找到一个 v ∈ S，使得：
⑥ v(r1r2s'1s'2 - r'1r'2s1s2) = 0.
观察到 ⑤ 中括号里的各项都是一个分子元素和三个分母元素相乘，③ × ④ 的做法是不可取的. 考虑 ③ × t's2s'2 + ④ × ts1s'1，有
tt'(r1s'1s2s'2 - r'1s1s2s'2) + tt'(r2s'2s1s'1 - r'2s2s1s'1) = 0，即
⑦ tt'(r1s'1s2s'2 - r'1s1s2s'2 + r2s'2s1s'1 - r'2s2s1s'1) = 0.
取 v = tt' ∈ S，⑦ 便是 ⑤. 因此，S-1R 上加法是良定义的.
类似地，考虑 ③ × t'r2s'2 + ④ × tr'1s1，有
tt'(r1s'1r2s'2 - r'1s1r2s'2) + tt'(r2s'2r'1s1 - r'2s2r'1s1) = 0，即
⑧ tt'(r1s'1r2s'2 - r'2s2r'1s1) = 0.
取 v = tt' ∈ S，⑧ 便是 ⑥. 因此，S-1R 上乘法是良定义的.
(S-1R, +, ·) 构成一个交换环，证明很简单，以下只简略罗列一下：
S-1R 在加法上构成交换群，加法单位元是 [0 / 1]（即上述分析中的 H），[r / s] 的加法逆元是 [-r / s]【[r / s] + [-r / s] = [(rs - rs) / ss] = [0 / ss] = [0 / 1]】.
S-1R 在乘法上构成交换幺半群，乘法单位元是 [1 / 1].
S-1R 的乘法对加法满足分配律.
