环论中中国剩余定理证明笔记

这一阵在看Maki的《抽象代数I》视频课（https://www.bilibili.com/video/BV1xG411j7Hk），其中第 20 课讲到环论的中国剩余定理，即：

若 (R, +, ·) 是交换环，I_i ◁ R, i = 1, ^..., n 且两两互素. 则对任意 a₁, ^..., a_n ∈ R，都能找到 x ∈ R 使得 x ≡ a_i mod I_i, i = 1, ^..., n.

Maki 的证明用到了一个很好的化简思路，即：

令 a = (a₁, ^..., a_n)，则 a = a₁(1, 0, ^..., 0) + ^... + a_n(0, ^..., 0, 1). 假设存在 x₁, ^..., x_n ∈ R，使得 x_i 是同余方程组 

　　　　x ≡ 1 mod I_i
　　　　x ≡ 0 mod I_j (j ≠ i)

的解. 则 x = a₁x₁ + ... + a_nx_n 是同余方程组 x ≡ a_i mod I_i (i = 1, ^..., n) 的解. 【以 mod I₁ 为例，由 x₁ ≡ 1 mod I₁ 有 a₁x₁ ≡ a₁ mod I₁；而由 x_j ≡ 0 mod I₁ (j = 2, ..., n) 有 a_jx_j ≡ 0 mod I_j (j = 2, ..., n). 从而有 a₁x₁ + ... + a_nx_n ≡ a₁ mod I₁. 】

于是中国剩余定理可以化简为以下的等价命题：

若 (R, +, ·) 是交换环，I_i ◁ R, i = 1, ^..., n 且两两互素. 则存在 x ∈ R 使得 x ≡ 1 mod I₁, x ≡ 0 mod I_j, j = 2, ^..., n. 

而这个等价命题就很好证明：由 I₁, ^..., I_n 两两互素有 I₁ + I_j = R (j = 2, ^..., n)，即 1 ∈ I₁ + I_j (j = 2, ^..., n).

于是存在 b₂, ^..., b_n ∈ I₁ 以及 c_j ∈ I_j (j = 2, ^..., n)，使得

　　　　1 = b₂ + c₂ = ... = b_n + c_n

取 x = c₂····c_n，则显然有 x ≡ 0 mod I_j, j = 2, ^..., n.

而证明 c₂····c_n = (1 - b₂)·····(1 - b_n) ≡ 1 mod I₁ 时，Maki 用了对 (1 - b₂)·····(1 - b_n) 做展开处理（乘法对加法的分配律）的方法，即展开后会得到 2ⁿ 项，其中只有 1····1 = 1 这一项 ≡ 1 mod I₁ ，其余 2ⁿ - 1 项都是 ≡ 0 mod I₁，所以 x ≡ 0 mod I₁. 这个思路最终归结为利用 1 + 0 = 1.

其实可以更直接地证明，即由 c_j = 1 - b_j ≡ 1 mod I₁ (j = 2, ^..., n)，直接就得到 c₂····c_n ≡ 1 mod I₁. 这个思路可归结为利用 1 · 1 = 1.

放一张在视频里加弹幕的截图：