Rudin 数学分析原理定理 4.22 的详细证明思路整理

f: X→Y 是连续函数，X、Y 是度量空间，E 是 X 的连通子集，则 f(E) 是 Y 的连通子集.

证明：f(E) 显然是 Y 的子集. 连通性证明采用反证法. 假设 f(E) 不是连通的，即 f(E) 可以分解为分离的（separated）两个非空子集 A 和 B，即有：

①     f(E) = A ∪ B，A^¬ ∩ B = Φ，B^¬ ∩ A = Φ，A ≠ Φ，B ≠ Φ.

由 A^¬ ∩ B = Φ ，可知：

②     f^-1(A^¬) ∩ f^-1(B) = Φ.

【否则，存在 p ∈ X 满足 x ∈ f^-1(A^¬) 以及 x ∈ f^-1(B). 于是 f(p) ∈ A^¬，且 f(p) ∈ B，即有 f(p) ∈ A^¬ ∩ B，与 A^¬ ∩ B = Φ 矛盾.】

由 ② 显然有，f^-1(A) ∩ f^-1(B) = Φ. 由 f(E) = A ∪ B 可知，E ⊂ f^-1(A) ∪ f^-1(B). 令 G = E ∩ f^-1(A)，H = E ∩ f^-1(B)，则有：

③     E = G ∪ H，G ∩ H = Φ，G ≠ Φ，H ≠ Φ.

【由 G ⊂ E，H ⊂ E 显然有 G ∪ H ⊂ E；另一方面，任取 x ∈ E，则 x ∈  f^-1(A) 或者 x ∈  f^-1(A)，即有 x ∈ G ∪ H，即 E ⊂ G ∪ H. 因此，E = G ∪ H.】

【由 A ≠ Φ 以及 A ⊂ f(E) 可知，对任意 q ∈ A，存在 p ∈ E，使得 f(p) = q，即 p ∈ f^-1(A). 因而 G  ≠ Φ. 同理，H  ≠ Φ. 】

f 在 X 上连续且 A^¬ 为闭集，由定理 4.8 的推论可知，f^-1(A^¬) 为闭集. 结合 G ⊂ f^-1(A) ⊂ f^-1(A^¬)，便有：

④     G^¬ ⊂ f^-1(A^¬).

【G 的极限点必然也是 f^-1(A^¬) 的极限点.】

由 ②，④ 以及 H ⊂ f^-1(B) 可知，G^¬ ∩ H = Φ. 由对称性，同样会有 H^¬ ∩ G = Φ. 结合 ③ 可知 E 可分解为分离的两个非空子集 G 和 H，这与 E 是连通集矛盾.