对连续性的理解笔记

以下笔记基于 Walter Rudin 所著的 《Principles of Mathematical Analysis Third Edition》（数学分析原理第三版）（以下简称为教材）.

在某点有极限

教材中（4.1 Definition）函数 f 在某点 p 有极限的定义有两个关键要素：

(1)  要求 p 是 f 的定义域 E 的一个极限点，这里 E 是度量空间 X 的一个子集，p ∈ X；

(2)  存在 q ∈ Y（度量空间 Y 是 f 的值域），对任意的 ε > 0，存在 δ > 0 使得当 x 满足 0 < d_X(x, p) < δ，x ∈ E 时一定有 d_Y(f(x), q) < ε 成立.

由 (1) 可知，f 在某点 p 有极限并不要求 p ∈ E，即不要求 f 在点 p 处有定义.

用 N^o(p, δ, E) 表示点 p 在 E 中半径为 δ 的去心邻域，则 f: E → Y 在 p ∈ X 有极限的定义可表述为：

存在 q ∈ Y，对任意的 ε > 0，存在 δ > 0 使得：若 x ∈ N^o(p, δ, E)，则 f(x) ∈ N(q, ε, Y).

纯字面上说就是，若 x 无限趋近 p，则 f(x) 无限趋近 q. 用简记符号表示就是：f(x) → q (x → p) 或者 lim _x→p f(x) = q.

为保障 N^o(p, δ, E) 非空，也使得 p 是 E 的极限点成为先决条件.

在某点连续

教材中（4.5 Definition）函数 f 在某点 p 连续的定义同样可以用邻域来表述：

对任意的 ε > 0，存在 δ > 0 使得：若 x ∈ N(p, δ, E)，则 f(x) ∈ N(f(p), ε, Y).

和在点 p 有极限不同，在点 p 连续不再要求 p 是 E 的极限点，但要求 p ∈ E，即 p 在 E 中可以是孤立点.  若 p 是 E 的孤立点，则 f 必然在点 p 连续，这是因为只要 δ 足够小，N(p, δ, E) 中就只包含点 p 一个点，即 N(p, δ, E) = {p}，而 f(p) 显然在 N(f(p), ε, Y) 中.

这样定义便引出连续性的一个重要的等价刻画，即定理 4.8.

定理 4.8 

f 是从度量空间 X 到度量空间 Y 的函数，则 f 在 X 上连续 ⇔ 对任意 Y 的一个开子集 V，f^-1(V) 都是 X 的开子集.

证明：(⇒)：已知 f 在 X 上连续，即 f 在 X 中任意一点都连续. 任给 Y 的开子集 V，需要证明 f^-1(V) 是 X 的开子集. 

若 V ∩ f(X) = Φ，则 f^-1(V) = Φ 显然是 X 的开子集.

若 V ∩ f(X) ≠ Φ，则 f^-1(V) ≠ Φ. 任取点 p ∈ f^-1(V)，则 f(p) ∈ V；由于 V 是开集，则存在 f(p) 的某个邻域 N(f(p), ε, Y) （如下图右半部分所示的以 f(p) 为圆心的灰色圆），满足  N(f(p), ε, Y) ⊂ V.

由已知条件知，f 在点 p 连续，即存在 δ > 0 使得：若 x ∈ N(p, δ, X)（如上图左半部分所示的以 p 为圆心的黄色圆），则 f(x) ∈ N(f(p), ε, Y). 即 f 把 N(p, δ, X) 中任意一点 x 映射到 f(x) ∈  N(f(p), ε, Y) ⊂ V. 而由 f(x) ∈ V 有 x ∈ f^-1(V). 由 x 的任意性可知，N(p, δ, X) ⊂ f^-1(V)，即点 p 是 f^-1(V) 的内点，再由 p 的任意性可知，f^-1(V) 为 X 的开子集.

(⇐)：已知对任给 Y 的一个开子集 V，f^-1(V) 是 X 的开子集. 由此证明 f 在 X 上连续.

任取一点 p ∈ X，则 f(p) ∈ Y. 任给 ε > 0，取 V = N(f(p), ε, Y)（示意图如下），由 f(p) ∈ V 知 p ∈ f^-1(V). 且 V 显然是 Y 的开子集，由题设知 f^-1(V) 是 X 的开子集，即 p 是 f^-1(V) 的内点，即存在 δ > 0 使得 N(p, δ, X) ⊂ f^-1(V).

任取 x ∈ N(p, δ, X)，则 x ∈  f^-1(V)，于是 f(x) ∈ V = N(f(p), ε, Y)，这说明 f 在点 p 连续. 由 p 的任意性可知 f 在 X 上连续.

一个例子

令度量空间 Y = R²，其中任意一点 y 可以用一个实数对来表示，即 y = (y₁, y₂)； X 是 R² 的离散度量空间，即其中任意一点可以用一个实数对来表示，即 x = [x₁, x₂]，但两点间的距离定义改为：若 p = q，则 d_X(p, q) = 0；若 p ≠ q，则 d_X(p, q) = 1. 

定义 f 是从 X 到 Y 的函数，并满足 f([r₁, r₂]) = (r₁, r₂). 

显然 f 是一个双射，即存在逆映射 g = f^-1: Y → X，由连续性的定义可知 f 在 X 上连续，而 g 在其定义域中的每一个点都不连续.

用定理 4.8 说明例子里的  g 在 Y 中任意点都不连续也很简单. 比如，任取 (r₁, r₂) ∈ Y，则 g((r₁, r₂)) = [r₁, r₂]. 取 V 为单点集，即 V ={[r₁, r₂]}，则 g^-1(V) 也是单点集，即 g^-1(V) = {(r₁, r₂)}，V 在 X 中是开集，而 g-1(V) 在 Y 中不是开集.