紧集（compact set）、完备集（perfect set）和完全集（complete set）的对比分析
相关定义
紧集（compact set）：若度量空间 E 的任意一个无限子集 S 都在 E 中有极限点 p，则 E 为紧集.
完备集（perfect set）：若 E 相对度量空间 X 是闭集，且任一属于 E 的点都是 E 的极限点，则称 E 是相对 X 的完备集.
完全集（complete set）：若度量空间 E 中的任意一个柯西序列都是收敛的，则 E 为完全集.
柯西序列（Cauchy sequence）：度量空间 X 中的一个序列 {pn}，若任意给定一个正实数 ε > 0，总存在正整数 N 使得 d(pj, pk) < ε 对任意 j ≥ N 和 k ≥ N 都成立，则称该序列为柯西序列.
收敛序列（Convergent sequence）：度量空间 X 中的一个序列 {pn}，若 X 中存在一点 p 满足以下特性：任意给定一个正实数 ε > 0，总存在正整数 N 使得 d(pn, p) < ε 对任意 n ≥ N 都成立. 则称 {pn} 为 X 中的收敛序列. 并称 {pn} 在 X 中收敛于 p.
序列（Sequence）：记 J 为全体正整数集，在 J 上定义一个函数 f: J→A（A 可为任意非空集合），即对任意 n ∈ J，有 f(n) ∈ A. 这样的函数 f 则被称为序列，并记作 {xn}，其中 xn = f(n).
对比分析
上述定义中，紧集、完备集、完全集，以及收敛序列和柯西序列，都是基于度量空间而言的. 这是因为这些概念都和点（项）之间的距离紧密相关. 可以说，紧集、完备集、完全集都是围绕极限点的概念而展开的.
对完全集的分析
完全集是用柯西序列收敛刻画的，而柯西序列可分为如下两种：
(1) E 中的柯西序列 {xn} 的值域（range）A 为有限集
此时恰有 A 中的某个元素 x 在 {xn} 中占据无穷项，即有
lim n→∞ xn = x (x ∈ A).
显然，这种柯西序列必然也是收敛序列.
(2) E 中的柯西序列 {xn} 的值域（range）A 为无限集
此时A 中任意某个元素在 {xn} 中只能占据有限项. 此种情形的柯西序列 {xn}，可以等价刻画为：
任取 A 中不同的两点 p 和 q，其距离的下确界为 0. 即
inf {d(p, q): p ∈ A, q ∈ A, p ≠ q} = 0.
若 A 在 E 中有极限点 x，则柯西序列 {xn} 在 E 中是收敛的，且收敛于 x，即有
lim n→∞ xn = x (x ∈ E).
若 A 在 E 中没有极限点，则柯西序列 {xn} 在 E 中不是收敛的.
总结一下，第一种柯西序列必然也是收敛序列；第二种柯西序列收敛与否取决于该序列的值域是否在 E 中有极限点，有则收敛，否则不收敛.
紧集必是完全集
考虑 E 是紧集，可分为如下两种情形：
(1) E 是有限集
此时，E 没有极限点，由 E 的元素构成的柯西序列只能是上述第一种柯西序列，即也是收敛序列.
(2) E 是无限集
假设 A 是 E 的一个无限子集，并由 A 的元素可以构造出一个柯西序列 {xn}，则这个序列必然是收敛的【由紧集定义，A 在 E 中有极限点 x，则 lim n→∞ xn = x (x ∈ E)】.
综合(1) 和 (2) 可知：若 E 是紧集，则 E 是完全集.
非紧集的完全集
上面的分析得出紧集是完全集的一种特例. 那么一些紧集的特性就不一定适用于完全集. 比如紧集是有界的，完全集则不然.
例 1：取 E = J，E 不是有界的，但 E 中的任意一个柯西序列只能是上述第一种柯西序列，显然都是收敛的，即 E 是完全集.
例 2：考虑如下的离散度量空间：
X 是一个无限集合，对任意 p ∈ X，q ∈ X，定义：d(p, p) = 0；当 p ≠ q 时，d(p, q) = 1.
X 显然不是紧集，但 X 是完全集. 和上例的 E 一样，X 也是由无限个孤立点组成的. 但和上例不一样，此处的完全集是有界的.
这里的例 1 和例 2 构成的完全集，和有限集构成完全集，在本质上是一样的，都是没有极限点的完全集.
完全集必是闭集
由完全集的定义以及上述分析可知，完全集是闭集. 作为完全集的特例，紧集也是闭集.
对完备集的分析
紧集和完全集都是相对自洽的概念. 而完备集则不然，比如：
例 3：E = (0, 1) ⊂ R，E 相对 R 显然不是完备集（E 在 R 上不是闭集），但 E 相对自身却是完备集. 容易验证，E 既不是紧集，也不是完全集.
例 4：E = Q ⊂ R，同样 E 相对 R 不是完备集，但 E 相对自身却是完备集. 同样易知，E 既不是紧集，也不是完全集.
完备集的定义，相对紧集和完全集，一方面是做了更强的约束，即其中的每个点都是极限点，这就使得完备集中没有孤立点；另一方面，又不如紧集和完全集的约束强，紧集的约束最强（要求任一无限子集必有极限点），其次是完全集（要求任一柯西序列收敛）.
因此可以结合起来，引入完备紧集和完备完全集，即：
若 E 是紧集，且 E 中任意一点都是 E 的极限点，则称 E 为完备紧集.
若 E 是完全集，且 E 中任意一点都是 E 的极限点，则称 E 为完备完全集.
这样一来，完备紧集和完备完全集，就都是相对自洽的概念了. 而且由上面的分析可知，完备紧集必是完备完全集.
例 5：E = [0, 1] ⊂ R，E 是完备紧集.
例 6：有理数集 Q ，不是完备完全集（比如 Q 中存在一个无限趋于 π 的柯西序列），自然也不是完备紧集；实数集 R 是完备完全集，但不是完备紧集.
一个猜测
至此，可以猜测：
若 E 为完备完全集，且 E 有界，则 E 是完备紧集. 即对于任意度量空间 E 而言，若 E 有界、完备、完全，则 E 是紧集. 简记为
bounded + perfect + complete ⇒ compact.
