数学分析原理第三章数列与级数（Numerical sequences and series）补记

以下补记基于 Walter Rudin 所著的 《Principles of Mathematical Analysis Third Edition》（数学分析原理第三版）（以下简称为教材）.

补记一：定理 3.11(b) 的一个更为简洁直观的证明

定理 3.11(b)：若度量空间 X 是紧集，且 {p_n} 是 X 中的柯西序列，则 {p_n} 收敛于 X 中的某个点.

教材里的证法用到了定理 3.10(b)，就其本质而言，就是利用定理 2.36（的推论），即构造一个渐缩的紧集套，这些紧集唯一的交点便是 {p_n} 的收敛点. 以下是一个更为简洁直观的证明.

证：由定理 3.6(a) 可知  {p_n} 存在一个子序列收敛于 X 中的某个点，记为 p. 即对任意 ε > 0，存在无数个下标 M_i 使得 d(p, p_Mi) < ε/2. 另一方面，由柯西序列的定义可知存在某下标 N 使得当 n, m > N 时满足 d(p_m, p_n) < ε/2. 无数个下标 M_i 中必然存在大于 N 的下标，取其中之一，记为M_k，于是当 n > Mk 时，有 d(p, p_n) ≤ d(p, p_Mk) + d(p_Mk, p_n) < ε/2 + ε/2 = ε. 即 {p_n} 收敛于 p. 

定理 3.6(a)：若度量空间 X 是紧集，且 {p_n} 是 X 中的序列，则 {p_n} 的某个子序列收敛于 X 中的某个点.

定理 3.6(a) 的证明以及上述对定理 3.11(b) 的简洁证明，就其本质而言，就是利用定理 2.37.

定理 2.36：若 {K_α} 是度量空间 X 的一组紧子集，且其中任意有限个集合的交集都不是空集，则 ∩ K_α 也不是空集.

定理 2.36 的推论：若 {K_n} 是一个非空紧集序列，且满足 K_n ⊃ K_n+1 (n = 1, 2, 3, ...)，则这个序列的全体集合的交集 ∩ _n=1,...,∞ K_n  不为空.

定理 2.37：若 E 是紧集 K 的无限子集，则 E 在 K 中有极限点.

定理 2.36 和 2.37 可参见：紧集笔记（二）.

补记二：关于 e 是无理数的证明

就 e 是无理数，教材中给出了一个巧妙的证明. 这里简单复述如下：

记 s_n = Σ_k=0..n (1/k!)，则 e - s_n = 1/(n+1)! + 1/(n+2)! + 1/(n+3)! + ^... 

  < [1/(n+1)!] · {1 + 1/(n+1) + 1 / (n+1)² + ^...} = 1/(n!n)，即有

①     0 < e - s_n < 1/(n!n).

假设 e 是有理数，即有正整数 p 和 q （因为 e > 2）满足 e = p / q，在 ① 中令 n = q，则有

0 < e - s_q < 1/(q!q).

即有 0 < q!e - q!s_q < 1/q.

q!e = (q-1)!p 为整数，q!s_q 也为整数，即 0 和 1/q 之间存在一个正整数，这显然是不可能的.

在 ① 中取 n = p，也可以证明 e 是无理数，补记如下：

由 ① 有，0 < p/q - s_p < 1/(p!p). 于是 0 < p!p - p!qs_p < q/p.

同样易知 p!p - p!qs_p 为正整数，而 q/p = 1/e < 1，一样推出矛盾.