基础拓扑习题与题解（一）
以下习题选自Walter Rudin 所著的 《Principles of Mathematical Analysis Third Edition》（数学分析原理第三版）的第二章：基础拓扑（Basic Topology）习题集.
习题 7
令 A1, A2, A3, ... 是度量空间 X 的子集. 记 Bn = ∪ i=1..n Ai，B = ∪ i=1..∞ Ai，则
(a) B¬n = ∪ i=1..n A¬i，n = 1, 2, 3, ....
(b) B¬ ⊃ ∪ i=1..∞ A¬i. 举例说明这里的包含可以是真包含.
证明：先考虑 (a). 当 n = 1 时，B1 = A1，显然有 B¬1 = A¬1.
当 n = 2 时，B2 = A1 ∪ A2，任取点 p ∈ A¬1 ∪ A¬2，若 p ∈ A1 ∪ A2，即 p ∈ B2，则显然有 p ∈ B¬2；若 p ∉ A1 ∪ A2，不妨设 p ∈ A¬1 - A1，即 p ∉ A1 但 p 是 A1 的极限点，由极限点的定义可知，p 也是 A1 ∪ A2 的极限点，即有 p ∈ B¬2. 于是 A¬1 ∪ A¬2 ⊂ B¬2.
另一方面，任取 q ∈ B¬2，若 q ∈ B2，则显然有 q ∈ A¬1 ∪ A¬2；若 q ∉ B2，则 q 必然是 B2 的极限点，假设 q 既不是 A1 的极限点也不是 A2 的极限点，则存在 q 的某个邻域 N(q, r, X) 与 A1 以及与 A2 均无交点，即 N(q, r, X) ∩ B2 = Φ，这与 q 是 B2 的极限点相矛盾，因此 q 要么是 A1 的极限点，要么是 A2 的极限点，即 q ∈ A¬1 ∪ A¬2. 于是 B¬2 ⊂ A¬1 ∪ A¬2.
综上可知，n = 2 时，B¬2 = A¬1 ∪ A¬2.
假设 n = k 时，B¬k = ∪ i=1..k A¬i. 则 n = k + 1 时，有
∪ i=1..k+1 A¬i = B¬k ∪ A¬k+1.
利用 n = 2 的结论，有
B¬k ∪ A¬k+1 = (Bk ∪ Ak+1)¬ = (Bk+1)¬.
由数学归纳法，可知 (a) 成立.
考虑 (b). 任取 p ∈ ∪ i=1..∞ A¬i，若 p ∈ B，则显然有 p ∈ B¬；若 p ∉ B，则 p 必然是某个 Ai 的极限点，由极限点定义可知，p 也是 B 的极限点，即 p ∈ B¬；因此有 B¬ ⊃ ∪ i=1..∞ A¬i.
∪ i=1..∞ A¬i 可以是 B¬ 的真子集，例如取 X = R1，Ai = (0, i / (i + 1))，i = 1, 2, 3, .... 此时，A¬i = [0, i / (i + 1)]，尽管 1 是 ∪ i=1..∞ A¬i 的极限点，但 1 ∉ ∪ i=1..∞ A¬i；而 1 显然也是 B = ∪ i=1..∞ Ai 的极限点，故 1 ∈ B¬.
习题 13
在 R1 中构造一个紧集 E 使得其全体极限点构成一个可数集.
分析与解：在 [0, 1] 中截取右半部分，即 [1/2, 1]，从中选取无限个离散点使得 1/2 是极限点，选取方法如下：
取 1/2 到 1 的中点，即 3/4，记为 p1(1/2)；再取 1/2 到 3/4 的中点，即 5/8，记为 p2(1/2)；再取 1/2 到 5/8 的中点，即 9/16，记为 p3(1/2)；.... 记 E1 = {0, 1, 1/2, p1(1/2), p2(1/2), p3(1/2), ...}，E1 的唯一极限点为 1/2.
同样，在 [0, 1/2] 中截取右半部分，即 [1/4, 1/2]，从中选取无限个离散点使得 1/4 是极限点，方法同上，即取 1/4 到 1/2 的中点，即 3/8，记为 p1(1/4)；再取 1/4 到 3/8 的中点，即 5/16，记为 p2(1/4)；再取 1/4 到 5/16 的中点，即 9/32，记为 p3(1/4)；.... 记 E2 = {0, 1/2, 1/4, p1(1/4), p2(1/4), p3(1/4), ...}，E2 的唯一极限点为 1/4.
...
取 E = ∪ i=1..∞ Ei. 每个 Ei 有一个极限点，且这些极限点都是 E 的极限点，此外这些极限点（1/2, 1/4, 1/8, ...）又以 0 为极限点，E 的所有极限点都在 E 中，故 E 为闭集，E 显然是有界的，且 E ⊂ R1，由 Heine-Borel 定理可知 E 是紧集. 综上，E 满足题设要求.
习题 15
定理 2.36 及其推论中，若把“紧集”换成“闭集”或“有界集”，则结论（比如，在 R1 中）不成立.
定理 2.36 的推论为：若 {Kn} 是一个非空紧集序列，且满足 Kn ⊃ Kn+1 (n = 1, 2, 3, ...)，则这个序列的全体集合的交集 ∩ n=1..∞ Kn 不为空.
推论是定理 2.36 的特殊情形，推论在条件变更后不成立，则定理 2.36 在条件变更后同样不成立.
先考察把“紧集”换成“闭集”的情形，令 Kn = [n, ∞)，满足 Kn ⊃ Kn+1 (n = 1, 2, 3, ...)，但 K = ∩ n=1..∞ Kn 为空. 这是因为，若有 p ∈ K，取 n = [p] + 1，则 p < n，即 p ∉ Kn，与假设矛盾.
再考察把“紧集”换成“有界集”的情形，令 Kn = (0, 1/n)，满足 Kn ⊃ Kn+1 (n = 1, 2, 3, ...)，但 K = ∩ n=1..∞ Kn 为空. 这是因为，若有 p ∈ K，取 n > 1/p，则 p > 1/n，即 p ∉ Kn，与假设矛盾.
习题 17
E ⊂ [0, 1]，且对任意 x ∈ E，x 的小数部分只包含数字 4 和 7. 问：E 是可数的吗？E 在 [0, 1] 中稠密吗？E 是紧集吗？E 是完备集吗？
分析与解：(0, 1) 中的任意实数都可以表示成一个二进制序列，这个数的小数部分显然只包含数字 0 和 1. 把这个数的小数部分 0 换成 4，1 换成 7，就得到了 E 中的一个数. 反之亦然. 因此，E 是不可数的.
E 中最小的数是 0.44..4，最大的数是 0.77..7，[0, 1] 的端点 0 和 1 显然不是 E 的极限点，因此，E 在 [0, 1] 中不是稠密的.
任取 x ∈ E，以及任意小的正实数 r，假设 r 的十进制小数表达式中小数点后有 m 个 0，那么把 x 的小数点后 m + 2 位的数字作翻转处理，即原来是 4 就变成 7，原来是 7 就变成 4，得到一个新数，记作 y， 则 y ∈ N(x, r, R) 且 y ∈ E. 这说明，E 上任意一点都是 E 的极限点.
还需要进一步考察 E 是否还存在其它极限点. 把 E 中某数 x 的小数点后第 k 位的数字 ak 改为 4 和 7 以外的数字 bk（比如 5），得到的新数记为 z，即 x = 0.a1...ak-1akak+1...，z = 0.a1...ak-1bkak+1...，显然 z ∉ E. 不妨设 ak = 4，bk = 5，则 E 中距离 z 最近的数为 x1 = 0.a1...ak-1477...7.... 于是
|z - x1| > 0.a1...ak-15 - 0.a1...ak-148 = 0.2·10-k.
取 ε = 0.1·10-k，则 N(z, ε, R) ∩ E 为空，即 z 不是 E 的极限点. 对于任意 w，若满足 w ∉ E 以及 0.44..4 < w < 0.77..7，找 w 的小数点后第一个不是 4 和 7 的数字位，用类似上面处理 z 的方法一样可知 w 不是 E 的极限点.
综上可知，E 是闭集，也是完备集. 而显然 E 是有界的，且 E ⊂ R1，因此 E 又是紧集.
但 E 显然不是连通集，例如 0.5 满足 0.44..4 < 0.5 < 0.77..7，但 0.5 ∉ E. 事实上， E 中没有连通子集，即 E 中任意两个点都不是连通的.
习题 18
在 R1 中是否存在一个不含有有理数的完备集？
分析与解：习题 18 可以说是习题 17 的拓展. 习题 17 里的 E 是完备集，但含有有理数. 把 E 中的有理数全部剔除，得到一个新集合 E'，那 E' 还是完备集吗？
以 x = 47/99 = 0.4747...47... 为例，取定任意小的正实数 r，假设 r 的小数点后有 m 个 0，那么任取 E' 中一个无理数 y，并把 y 的小数点后 2m 位替换成 4 和 7 交替形式（小数点后第一位为 4、第二位为 7、...），得到的新数记为 z，显然有 z ∈ E'，且 |x - z| < r，因此 x 是 E' 的极限点，但 x ∉ E'，因此 E' 不是完备集.
另一个思路是对 E 中的全体点做整体平移，即为每一个点对应的数加上一个无理数常数 c（比如 π），就可以得到一个全是无理数的完备集 F，E 的任意一数 x，F 中对应的数为 x + c. 因此，此题的结论是肯定的. 这里，c 可以取很多值，比如 π、e、21/2 等，一个较为直观的情形是 取 c = 0.1010010001...，即小数点后第一位为1，隔一个 0 后再出现一个 1，后续逐次多隔一个 0 再出现一个 1，这样构造的 c 显然是一个无理数，若 x 为有理数，则 x + c 显然为无理数；若 x 为小数部分仅有 4 和 7 的无理数，则 x + c 会在 c 的小数数位为 1 的对应位置出现 5 或 8，显然还是无理数.
