完备集笔记

以下笔记整理基于 Walter Rudin 所著的 《Principles of Mathematical Analysis Third Edition》（数学分析原理第三版）的第二章：基础拓扑（Basic Topology），在下文中简称为教材.

完备集定义回顾

若 E 相对度量空间 X 是闭集，且任一属于 E 的点都是 E 的极限点，则称 E 是相对 X 的完备集. 简单说，E 是闭集且没有孤立点，则 E 是完备集. 特别地，空集是完备集.

定理 2.43

 若 P 是 R^k 中的一个非空完备集，则 P 是不可数的.

证明：由 P 有极限点可知，P 是无限集. 假设 P 是可数的，并记其中的点为 x₁, x₂, x₃, ...，以下试图构造一个俄罗斯套娃式邻域序列 {V_n}，使其满足 V^¬_n ⊃ V^¬_n+1，以及 x_n ∉ V^¬_n+1，n = 1, 2, 3, ...，这里 V^¬_n  指代 V_n 的闭包：

任取 x₁ 的一个邻域 V₁ = N(x₁, r₁, R^k)，由 x₁ 是 P 的极限点，可知 V₁ 中除 x₁ 之外另有无数个点属于 P，任取其中之一，记为 y₁，则一定存在 y₁ 的一个邻域 V₂ 满足 V^¬₂ ⊂ V^¬₁ 以及 x₁ ∉ V^¬₂.  比如，记 d₁ = |x₁ - y₁|，取 r₂ = min {d₁ / 2, (r₁ - d₁) / 4}，V₂ = N(y₁, r₂, R^k). 对任意 y ∈ V^¬₂，有 |y₁ - y| ≤ r₂，且有 |x₁ - y| ≤  |x₁ - y₁| + |y₁ - y| ≤ d₁ + r₂ = (3·d₁ + r₁) / 4 < r₁.

接着构造 V₃，由 y₁ 是 P 的极限点，可知 V₂ 中有无数个点属于 P，为确保 x₂ ∉ V^¬₃，从中选取一点 y₂ ≠ x₂，则一定存在 y₂ 的一个邻域 V₃ 满足 V^¬₃ ⊂ V^¬₂ 以及 x₂ ∉ V^¬₃. 比如，记 d₂ = min{|y₁ - y₂|, |x₂ - y₂|}，取 r₃ = min {d₂ / 2, (r₂ - d₂) / 4}，V₃ = N(y₂, r₃, R^k).

这个构造过程一直进行下去，就得到了一个满足前述要求的邻域序列 {V_n}，把 x₁ 记作 y₀，就有如下通项表达式：

      V_n = N(y_n-1, r_n, R^k)，y_n-1 ∈ P，n = 1, 2, 3, ...

记 K_n = V^¬_n ∩ P，K_n 显然非空，V^¬_n 和 P 都是闭集，因此 K_n 是闭集，且 V^¬_n 有界，即知 K_n 是紧集，且有 K_n ⊃ K_n+1，n = 1, 2, 3, ...

一方面，P 中任意一点 x_n 都不属于 ∩ _i=1,...,∞ V^¬_i，即 ∩ _i=1,...,∞ K_i 是空集；而另一方面，由定理 2.36 的推论可知，∩ _i=1,...,∞ K_i 非空，矛盾.

推论 任意闭区间 [a, b]（a < b）都是不可数的. 特别地，全体实数的集合是不可数的.

康托集（Cantor set）

下面要构造的集合表明在 R¹ 中存在不包含任何开区间的非空完备集. 

令 E₀ = [0, 1]，从中挖去中间的 1/3，即挖去开区间 (1/3, 2/3)，得到

       E₁ = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1].

再从 E₁ 的两个闭区间中各自挖去中间的 1/3，得到

       E₂ = [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 1].

这个过程一直进行下去，就得到一个紧集序列 {E_n}，满足：

(a)   E₁ ⊃ E₂ ⊃ E₃ ⊃ ...；
(b)   E_n 是 2ⁿ 个闭区间的并集，其中每个闭区间的长度为 3^-n.

集合 P = ∩ _n=1,...,∞ E_n 被称作康托集. 由 (a) 可知 P = E_∞. P 显然是紧集，由定理 2.36 可知 P 非空. 事实上，由 E_n 的构造要求，易知 E_n 的每个区间的左右端点都在 P 中.

任取 [0, 1] 中的一个开区间 (p, q)，即有 0 < p < q < 1，记 r = q - p，当 n 足够大，会满足 3^-n < r（比如 n > -log₃r），此时 E_n 的每个闭区间的长度比 r 小，不可能覆盖 (p, q). 由此可知 P 中不包含任何开区间.

再来考察 P 是否为完备集. P 是闭集是显然的. 考虑 x ∈ P，任取 x 的邻域 N(x, r, R¹)，该邻域即为开区间 (x - r, x + r)，记为 S，若能证明 S 含有除 x 外的另一点 y ∈ P，则 x 是 P 的极限点，P 即为完备集.

由 x ∈ P，有 x ∈ E_n，用 I_n 指代 E_n 中包含 x 的那个闭区间. 当 n 足够大时，会有 I_n ⊂ S.  而 I_n 的两个端点都属于 P，且其中之一必然不等于 x，因此，P 是完备集. 

拓展思考

由构造过程看，上述的康托集 P 包含 [0, 1] 范围内无限多个有理数，E_n 的每个区间的左右端点都是有理数，比如 0、1、1/3、1/9、1/27、... 都属于 P，比比皆是. 而 P 又是 R¹ 中的非空完备集，由定理 2.43 可知，康托集 P 是不可数的. 因此 P 中必然还含有更多数量的无理数（超越数），那么一个疑问是：

对于 P 中这些无理数极限点，能否具体列举出其中之一呢？

受康托集构造方法的启发，尝试用端点翻倍的方法构造如下集合序列 {F_n}：

由 [0, 1] 的两个端点组成的集合，记为 F₀ = {0, 1}；

将 F_n 中的数按从小到大两两配对，对由每一组配对数为端点组成的闭区间作三等分，这些三等分闭区间的端点的集合记为 F_n+1，n = 0, 1, 2, ...

于是有：

F₁ = {0, 1/3, 2/3, 1}；

F₂ = {0, 1/9, 2/9, 3/9, 6/9, 7/9, 8/9, 1}；

F₃ = {0, 1/27, 2/27, 3/27, 6/27, 7/27, 8/27, 9/27, 18/27, 19/27, 20/27, 21/27, 24/27, 25/27, 26/27, 1}；

...

记 F = ∪ _n=1,...,∞ F_n ，易知 F₁ ⊂ F₂ ⊂ F₃ ⊂ ...，故有 F = F_∞. 

F₀ 中配对的数为 0 和 1，由 F 的构造过程可知，0 和 1 都是 F 的极限点，即 F₀ 中的点都是 F 的极限点；

F₁ 中配对的数有两对，任取一对，比如 0 和 1/3，由 F 的构造方法可知，0 和 1/3 都是 F 的极限点，从而可知 F₁ 中的点都是 F 的极限点；

依此类推，可知 F_n 中的点都是 F 的极限点. 由此可知，F 中的点都是 F 的极限点. 而 F 中的点全是有理数点，这说明 F 相对 R¹ 不是闭集（不然 F 是完备集，这与定理 2.43 矛盾），即 F 还存在很多极限点，这些点不属于 F. 关于 F 和 P 的关系，F ⊂ P 是显然的，更进一步，容易猜测 P 就是 F 的闭包， 即 P = F^¬. 

作为对比，由 [0, 1] 的两个端点开始，不断增加中点的方法来构造如下集合序列 {H_n}：

H₀ = {0, 1}；H₁ = {0, 1/2, 1}；H₂ = {0, 1/4, 2/4, 3/4, 1}；H₃ = {0, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 1}；...

令 H = H_∞，易知 H 的全体极限点的集合就是 [0, 1]，即 H^¬ = [0, 1]. 这种情形下，列举出一些 H 的超越数极限点是很容易的，比如 1/π、2/e、e/π、(e/π)² 等等.