紧集笔记（三）

定理 2.38

若 {I_n} 是一个 R¹ 中的闭区间序列，且满足 I_n ⊃ I_n+1 (n = 1, 2, 3, ...)，则 ∩ _n=1,...,∞ I_n  不为空.

证明：记 I_n = [a_n, b_n]，记全体 a_n 的集合为 E，E 非空且有上界，记 x = sup E，由题设可知 a₁ ≤ ... ≤ a_n ≤ ... ≤ a_n+m ≤ ... ≤ b_n+m ≤ ... ≤ b_m ≤ ... ≤ b₁（m、n 为任意正整数）. 于是 x ≤ b_m 对 m 的每个取值都成立，所以 x ∈ I_m 对 m 的每个取值都成立. 

定理 2.39

已知 k 是一个正整数，若 {I_n} 是一个 k-方格序列，且满足 I_n ⊃ I_n+1 (n = 1, 2, 3, ...)，则 ∩ _n=1,...,∞ I_n  不为空.

证明：记 I_n 由满足如下条件的全体点 x = (x₁, ..., x_k) 所组成：

   a_n,j ≤ x_j ≤ b_n,j  (1 ≤ j ≤ k; n = 1, 2, 3, ...).

并记 I_n,j = [a_n,j, b_n,j]. 对每个 j，序列 {I_n,j} 满足定理 2.38 的题设条件，因此存在一组实数 x_j*，满足：

  a_n,j ≤ x_j* ≤ b_n,j  (1 ≤ j ≤ k; n = 1, 2, 3, ...).

 令 x* = (x₁*, ..., x_k*)，可知 x* ∈ I_n 对 n 的每个取值都成立.

定理 2.40 k-方格是紧集

证明：令 I 是一个 k-方格，由满足 a_j ≤ x_j ≤ b_j  (1 ≤ j ≤ k) 的全体点 x = (x₁, ..., x_k) 所组成. 记 

   δ = {Σ _j=1,...,k (b_j - a_j)²}^1/2.

若 x ∈ I，y ∈ I，则 |x - y| ≤ δ. 假设 I 不是紧集，即存在 I 的一个开覆盖 {G_α}，其中没有 I 的有限子覆盖.

记 c_j = (a_j + b_j) / 2 (1 ≤ j ≤ k). 让 I 在每个维度上的闭区间等分成两个长度相等的子区间，即 [a_j, b_j] 分成 [a_j, c_j] 和 [c_j, b_j]，这 2k 个子区间可以确定 2^K 个 k-方格，记为 Q_i (i = 1, ..., 2^k)，显然这些 Q_i 的并集为 I. 这些 Q_i 中一定有一个 k-方格，不妨记作 I₁，不能被 {G_α} 的任意有限子组所覆盖（不然每个 Q_i 都被某个有限子组所覆盖，取这 2^K 个有限子组的并集，依然为有限子组，却可以覆盖 I）. 接着对 I₁ 作 类似 I 的处理，这个过程一直持续，会得到满足下列特性的序列 {I_n}：

(a) I ⊃ I₁ ⊃ I₂ ⊃ ... ；

(b) I_n 不能被 {G_α} 的任意有限子组所覆盖；

(c) 若 x ∈ I_n，y ∈ I_n，则 |x - y| ≤ 2^-nδ.

由 (a) 和定理 2.39 可知，存在一点 x* 属于每个 I_n；由题设可知，对某个 α，x* ∈ G_α，由 G_α 是开集可知，存在 x* 的邻域满足 N(x*, r, R^k) ⊂ G_α；若 n 足够大，比如 n > log₂ (δ / r)，则 2^-nδ < r，此时由 (c) 可知 I_n ⊂ G_α；这与 (b) 矛盾.

至此，定理证明完毕.

定理 2.41

若 R^k 中的集合 E 满足下列三个特性之一，则它一定也满足另两个特性：

(a) E 是闭集且有界.

(b) E 是紧集.

(c)  E 的任意一个无限子集在 E 中存在极限点.

证明： 若 E 满足特性 (a)，则由 E 的有界性可知，存在一个 k-方格 I 满足 E ⊂ I，E 相对 R^k 是闭集，由闭集特性可知，E 相对 I 也是闭集，由定理 2.40 和定理 2.35 可知 E 满足 (b). 而定理 2.37 直接表明由 (b) 可推知 (c). 只剩下由 (c) 推知 (a).

假设 E 不是有界的，则 E 中有满足如下条件的点 x_n：

     |x_n| > n (n = 1, 2, 3, ...).

由这些点组成的集合 S 是 E 的一个无限子集，但 S 显然在 E 中没有极限点. 因此由 (c) 可推知 E 是有界的.

假设 E 不是闭集，则存在 x₀ ∈ R^k，x₀ 是 E 的极限点，且 x₀ ∉ E. 则 E 中存在点 x_n 满足 |x_n - x₀| < 1/n (n = 1, 2, 3, ...). 这些 x_n 构成的集合 S 显然是 E 的无限子集. 任取一点 y ∈ R^k，且 y ≠ x₀，由 |x_n - y| + |x_n - x₀| ≥ |y - x₀| 有 |x_n - y| > |y - x₀| - 1/n. 若 n 足够大，必有 |x_n - y| > |y - x₀| / 2，这说明 y 不是 S 的极限点，即 S 在 R^k 上的极限点只有 x₀，即 S 在 E 上没有极限点，这与 (c) 矛盾. 因而由 (c) 可推知 E 是闭集.

综上，定理证明完毕.

教材里提到定理 2.41 的 (a) 等价于 (b) 又被称作 Heine-Borel 定理.

定理 2.42 (Weierstrass 定理)

 R^k 的每个有界无限子集在 R^k 中存在极限点.

证明：设 E 是 R^k 的一个有界无限子集，由 E 的有界性可知 E 是某个 k-方格 I （I ⊂ R^k）的子集. 由定理 2.40 知 I 是紧集，于是 E 是紧集 I 的一个无限子集，由定理 2.37 知 E 在 I 中存在极限点. 至此定理证明完毕.

总结与回顾

先来看 紧集笔记（二） 开头提出的命题一：

若子集 K 在度量空间 X 中的任意一个开覆盖都包含一个可以覆盖 K 的有限子覆盖，则 K 是有界的，且对于任意包含 K 的 度量空间 Y，K 都是闭集.

这个命题的题设实际就是指出 K 是紧集，由定理 2.33 和 2.34 可知，对于任意包含 K 的 度量空间 Y，K 都是闭集. 假设 K不是有界的，取定某点 p ∈ K，

则 E 中有满足如下条件的点 q_n：

     d(p, q_n) > n (n = 1, 2, 3, ...).

由这些 q_n 组成的集合 E 是 K 的一个无限子集，由定理 2.37 可知，E 在 K 中有极限点，记为 q. 由极限点定义可知，邻域 N(q, 1, K) 中含有 S 中无限多个点，即有无数个 n 满足：

    d(q, q_n) < 1.

但由度量空间定义可知，d(p, q) + d(q, q_n) > d(p, q_n)，就是说有无数个 n 满足：

    d(p, q) + 1 > d(p, q_n) > n.

这显然是不可能的，由此可知，K 是有界的. 命题一成立.

再看命题一的逆命题，即命题二：

K 是度量空间 X 的子集，若 K 是有界的，且对于任意包含 K 的 度量空间 Y，K 都是闭集，则 K 在 X 中的任意一个开覆盖都包含一个可以覆盖 K 的有限子覆盖.

这个命题是不成立的. 教材第二章里的习题 10 就是反例，具体如下：

X 是一个无限集合，对任意 p ∈ X，q ∈ X，定义：

d(p, p) = 0；当 p ≠ q 时，d(p, q) = 1.

容易验证这个距离函数的定义满足度量空间距离函数的三个法则， 因此 X 是度量空间. 由定义可知 N(p, 2, X) = X，N(p, 1/2, X) = {p}，这说明 X 是有界的，而且 X 中任意一点都是孤立点. 进一步易知，X 既是开集也是闭集. 但 X 不是紧集，因为 ∪ _p∈X N(p, 1/2, X) 是 X 的一个开覆盖，且这个开覆盖不存在可以覆盖 X 的有限子覆盖.